poj 3904 容斥原理+质因数分解

题意：给你一串数字，问选择4个数且这四个数的最大公因数为1的选法为多少种

解法：

很容易想到容斥原理，答案为选择四个数的所有种数-四个数存在最大公因数为质数+四个数存在最大公因数为两个质数之积-四个数存在最大公因数为三个质数之积。。。

就是处理各个由质因子相乘得到的因子的数量比较麻烦。

首先，题目给的数据范围是10000，而2*3*5*7*11*13>10000 所以每个数的质因子最多只有五个

那么对于每个数，我们只要求出它的几个质因子组合而成的数目就好，这里有个优化，假设这个数有a个质因子，那么由其中i个质因子相乘得到的数和由其中a-i个质因子相乘得到的数一一对应，二者乘积为这个数所有质因子的乘积，所以4个和5个的组合是不用重新求的，只要用所有数的乘积除一下就好，那么最多循环三次取三个不同的质因子，时间复杂度减为5*5*5*10000，同时记录这个数是由几个数相乘得到。

最后求出了每个由出现的质数组成的因子的数量，这个因子的大小不会超过10000，根据因子的质因子数确定系数的正负然后直接用容斥原理就可以了。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL __int64
int n,cnt[10005],num[10005];
int mul_cnt[10005];
LL C[10005][10],ans;
bool isprime[10005],mark[10005];//每个因子该加还是减
vector V[10005];//每个数的因子
void init()
{
	memset(mul_cnt,0,sizeof(mul_cnt));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	memset(mark,0,sizeof(mark));
	ans=0;
}
void input()
{
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
	{
		scanf("%d",&num[i]);
		cnt[num[i]]++;
	}
	n=unique(num,num+n)-num;
}
void pre()
{
	for(int i=0;i<=10000;i++)
		for(int j=0;j<=i&&j<=4;j++)
			if(j==i||j==0) C[i][j]=1;
			else C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
	for(int i=2;i<=10000;i++) if(!isprime[i]) 
	{//1-10000每个数的质因子
		V[i].push_back(i);
		for(int j=2*i;j<=10000;j+=i)
		{
			isprime[j]=1;
			V[j].push_back(i);
		}
	}
	return;
}
void cnt_M()
{
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
	{
		int a=V[num[i]].size(),sum=1;
		if(a==1) {mul_cnt[V[num[i]][0]]+=cnt[num[i]];mark[V[num[i]][0]]=1;continue;}
		for(int j=0;j1)
		{
			for(int j=0;j2)//如果四个质因子的话a-2=2会加重，所以要判断大小
				{
					mul_cnt[sum/tmp]+=cnt[num[i]];
					if(a%2) mark[sum/tmp]=1;
				}
			}
		if(a==4) {mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];continue;}
		mul_cnt[sum]+=cnt[num[i]];
		mark[sum]=1;
	}
	for(int i=2;i<=10000;i++)
	{
		int a=1;
		if(mark[i]) a=-1;
		ans+=a*C[mul_cnt[i]][4];
	}
}
int main()
{
	pre();
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		init();
		input();
		ans=C[n][4];
		cnt_M();
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}