【牛客】数学考试题解

原题地址

题目描述

今天qwb要参加一个数学考试，这套试卷一共有n道题，每道题qwb能获得的分数为ai，qwb并不打算把这些题全做完，
他想选总共2k道题来做，并且期望他能获得的分数尽可能的大，他准备选2个不连续的长度为k的区间,
即[L,L+1,L+2,…,L+k-1]，[R,R+1,R+2,…,R+k-1]（R >= L+k）。

输入描述:

第一行一个整数T（T<=10）,代表有T组数据
接下来一行两个整数n,k,(1<=n<=200,000),(1<=k,2k <= n)
接下来一行n个整数a1,a2,…,an，（-100,000<=ai<=100,000）

输出描述:

输出一个整数，qwb能获得的最大分数

示例：

输入：
2
6 3
1 1 1 1 1 1
8 2
-1 0 2 -1 -1 2 3 -1
输出：
6
7

一开始的思路（错误思路）

先求前缀和，然后从第一个数找第一个区间，是该区间的sum为最大，再从该区间的左侧和右侧去找sum第二大的区间，最后将两个区间相加。
错误在于中间的区间将整个区间分为三部分（包括它本身），可能最大值为左侧区间的右端加中间区间的左端，和中间区间的右端加右侧区间的左端，造成结果不对。

正确的思路

先求前缀和，因为两个区间不相交，所以找一个基准点，找到该基准点左侧的sum最大的的区间（可以将该基准点视为在左区间），再在基准点右侧找到sum最大的区间，最后相加。

求前缀和

sum[i]为前 i 项的和

for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> a[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        }

让每个数都做基准点，找到它们各自的左区间sum最大

1. l[i] 为以 i 做基准点，左侧的sum最大区间。
2. 因为要求的的区间长度为k,所以 i 要从 k开始，如果从 k 以前的数开始的话，区间长度根本都不满足题中要求的长度k。

for(int i = k; i <= n; i++)
            l[i] = max(l[i - 1], sum[i] - sum[i - k]);

让每个数都做基准点，找到它们各自的右区间sum最大

1. r[i] 为以 i 做基准点，右侧的sum最大区间。
2. i要从从右数k个数开始，即n - k + 1

for(int i = n - k + 1; i >= 1; i--)
            r[i] = max(r[i + 1], sum[i - 1 + k] - sum[i - 1]);

求最终结果ans

1. 首先假设最终最大的结果是以k为基准点划分的， 因为第一个基准点为k，即设long long ans = l[k] + r[k + 1];
   为什么r 里面 是 k + 1呢，因为两个区间不可以相交，所以左侧的区间为 <= k， 右侧的区间为 >= k + 1， 这样就能保证两个区间不会相交。
2. 求ans

for(int i = k; i <= n - k; i++)
            ans = max(ans, l[i] + r[i + 1]);

为什么结束的条件是 i <= n - k呢，因为右侧区间是从i + 1开始的，n - k + 1为最右的基准点。

AC代码

#include 
using namespace std;
int t, n, k;
long long a[200005], l[200005], r[200005], sum[200005];
int main(void)
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> k;
        memset(l, -0x7f, sizeof(l));
        memset(r, -0x7f, sizeof(r));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> a[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        }
        for(int i = k; i <= n; i++)
            l[i] = max(l[i - 1], sum[i] - sum[i - k]);
        for(int i = n - k + 1; i >= 1; i--)
            r[i] = max(r[i + 1], sum[i - 1 + k] - sum[i - 1]);
        long long ans = l[k] + r[k + 1];
        for(int i = k; i <= n - k; i++)
            ans = max(ans, l[i] + r[i + 1]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}