将词性标注转为数学描述问题。此文参考 NLP --- 词性标注
词性标注转数学描述
词性标注任务描述，已知句子S的单词序列 \(W\)为\((w_1,w_2,...,w_n)\)，则该句子对应的词性序列\(T=(t_1,t_2,...,t_n)\)便为隐藏的状态序列。现在假设\(W\)为分词后的句子序列，\(T\)是\(W\)的某个可能的词性标注序列，\(T^*\)为最终的标注结果，即概率最大的词性序列，则有
\[T^* = argmaxP(T|W) \]
根据贝叶斯定理
\[P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} \]
则有
\[T^* = argmaxP(T|W)=argmax\frac{P(W|T)P(T)}{P(W)} \]
对于一个给定的词序列 \(W\)，其词序列的概率\(P(W)\)对于任意一个标注的序列都是相同的，故可以将上式的\(P(W)\)忽略，变为下式
\[T^* = argmaxP(T|W)=argmaxP(W|T)P(T) \]
我们对上式右侧计算进行说明
\[P(W|T)P(T)=P((w_1,w_2,...,w_n)|(t_1,t_2,...,t_n))p((t_1,t_2,...,t_n)) \]
针对 \(P(W|T)=P((w_1,w_2,...,w_n)|(t_1,t_2,...,t_n))\)，我们利用马尔科夫假设，每个单词的词性仅与该单词相关，则
\[P(W|T)=P((w_1,w_2,...,w_n)|(t_1,t_2,...,t_n))=P(w_1|t_1)P(w_2|t_2)...P(w_n|t_n)=\prod_{i=1}^{n}P(w_i|t_i) \]
针对 \(p((t_1,t_2,...,t_n))\)利用链式法则及Bigram语言模型可以转换为下式
\[p((t_1,t_2,...,t_n))=P(t_1)P(t_2|t_1)P(t_3|t_2)...P(t_n|t_{n-1})=P(t_1)\prod_{i=2}^{n}P(t_i|t_{i-1}) \]
整合上述两式与求 \(T^*\)整合
\[T^* = argmaxP(T|W)=argmaxP(W|T)P(T)=\prod_{i=1}^{n}P(w_i|t_i)P(t_1)\prod_{i=2}^{n}P(t_i|t_{i-1}) \]
其中 \(P(w_i|t_i)\)解释为词性为\(t_i\)的词\(w_i\)的概率，\(P(t_i|t_{i-1})\)解释为词性\(t_{i-1}\)到词性\(t_i\)转移的概率。这两个概率的统计可以基于语料采用最大似然估计来统计得到
\[P(w_i|t_i)=\frac{C(w_i,t_i)}{C(t_i))} \\ P(t_i|t_{i-1})=\frac{C(t_i,t_{i-1})}{C(t_{i-1}))} \]
其中 \(C(w_i,t_i)\)指语料库中词\(w_i\)词性为\(t_i\)的出现次数，\(C(t_i)\)表示词性\(t_i\)出现的次数；\(C(t_i,t_{i-1})\)则为相邻两个词性\(t_{i-1},t_i\)出现的次数（考虑先后顺序）。
我们知道，在概率的计算中经常会出现underflow问题，所以一般我们都会对概率计算的两端取对数处理，上式转换为
\[T^* = argmaxlogP(T|W)=argmaxlogP(W|T)P(T)=argmaxlog\prod_{i=1}^{n}P(w_i|t_i)P(t_1)\prod_{i=2}^{n}P(t_i|t_{i-1})=argmax(\sum_{i=1}^{n}logP(w_i|t_i)+logP(t_1)+\sum_{i=2}^{n}logP(t_i|t_{i-1})) \]
令
\[A=P(w_i|t_i) \\ \pi=P(t_1) \\ B=P(t_i|t_{i-1}) \]
上述的表述便于后续我们对维特比算法的描述，其中A是词性为 \(t_i\)的词\(w_i\)的概率，\(\pi\)可以解释为开头的词性概率，B可解释为为词性\(t_{i-1}\)到词性\(t_i\)转移的概率。
