并查集-树形数据结构

字面意义的直观解释：

并查集简单的说有两种功能：合并和查找，所操作的对象是一个元素或集合。

合并：元素与元素之间，元素与集合之间，集合与集合之间，都可以实现合并，换句话说建立起一个关系，非常简单的双向关系。

查找：我们可以判断这个元素属于哪个集合，或是自己独立于集合之外。

通过以上解释，我们可以直接了解其两个最重要的功能，可以发现并查集的本质是将数据储存下来，在进行查询操作，因此并查集是一种数据结构，而且是树形的数据结构，在理解时要注意以树的概念去理解。在实际代码实现时，我们仅仅用了一维数组去模拟这个树的结构，所以代码整体比较简洁，注重理解。

原理及代码实现：

原理：假设1和2有关系，我们可以让1和2建立起一个集合，而在思想上以树的形式反映：

我们再让2和3建立起关系：  。

我们思考一下为什么这样做：在一棵树中，根节点必然只有一个，此时我让这个根节点作为这个集合的代表，在上图中，只要根是1，那么就属于这个集合。

然后假设有集合A和集合B，A和B中都有若干元素，此时我让AB合并，此时是否需要将A中所有元素分别操作，让其属于B，或者对B所有元素操作让其属于A，完全不需要，我们已有现成的逻辑，每个集合只有一个根，所以我们只需将B的根节点指向A的根节点，此时，包括B连带B中所有元素均指向了A，此时AB合并完毕，且A为新的根节点，如下图：

合并之后：

此处的箭头表示指向根节点，只是方便理解，实际关系仍然是双向的。我们可以发现，每次操作总是针对于当前集合的根节点进行操作，此时必然可以保证其余的子关系不乱，而到底是A合并到B，还是B合并到A，没有特殊要求都一样，因为我们最终目的是两者合并。

代码实现：我们申请一维数组，下标表示当前元素，其对应的值a[i]代表父亲节点，定义就这样简单。

在一开始，所有元素均没有关系，那么自己就是自己的根节点：

假设1和2有关：，可以看出我让1做了根节点，每次合并，一定让根节点合并，所以查找为先，我们观察数组可以发现查找很简单，每次代入下标，判断是否与下标内的值相等，即为根，否则代入其值，即父亲节点，继续判断，可以直接递归实现，定义数组为f[i]：

int fd(int x)
{
    if(f[x]!=x)    //不等时不为根，继续查找
    {
        return fd(f[x]);
    }
    return f[x];  //此时相等，查找完毕，返回根节点
}

合并自然是对两个对象操作，分别找到其根，然后合并，就完成了。

int Union(int a,int b)  
{
    int p1=fd(a);   //找到a和b的根
    int p2=fd(b);
    if(p1!=p2)  //如果根相同，则不需要合并
    {
        f[p2]=p1;  //此时也可写f[p1]=p2 合并顺序无所谓，重点是合二为一
        return 1;
    }
    return 0;  //合并失败即已经是一个集合，返回0
}

总结：最终数组内的值，只要和下标相等的就是根节点，所以也可以很容易的判断出有几个集合或几颗树。

优化：路径压缩

此处，我想让4找到根，需要4->3->2->1共转移3次，同时这个递归过程会原路返回，此时能不能利用一下？

当返回时，我们将根直接赋给当前节点，就大大缩短了路径长度：

此时，如果再找4，只需1次，注意这个优化是对于接下来的查询方便的。代码也只需要原基础上稍微修改：

int fd(int x)
{
    if(f[x]!=x)
    {
        f[x]=fd(f[x]); //返回时赋值给f[x]即可完成路径压缩
    }
    return f[x];   //注意一定返回f[x]，如果返回x下标，x只是当前的子节点，那么路径压缩无效
}