离散数学-代数系统-二元运算-16

离散数学

代数系统

二元运算

定义：设S为集合，函数f：S×S→S称为S上的二元运算。
说明：验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑三点

• S中任何两个元素都可以进行这种运算，即运算结果是存在的。
• 运算的结果是惟一的。
• 运算结果依然属于S，即S对该运算是封闭的。

一元运算：
定义：设S为集合，函数 f: S→S 称为S上的一元运算.
例：
(1) 求一个数的相反数是整数集合Z，有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。

n元运算：

定义：设S为集合，函数f：Sn→S称为S上的n元运算。

一元运算和二元运算的表示：

定义：可以用◦
∗, · , ⊕, ⊗,∆ 等符号表示二元或一元运算，称为算符.
• 解析公式:使用算符和表达式给出运算对象和运算结果间的映射规则
2元运算：x1∘ x2 = y
1元运算：△x = y
n元运算：∘ (x1, x2, …, xn) = y
• 运算表：运算对象和运算结果构成的二维表（适用于有穷集）

二元运算的性质：
定义：设◦为S上的二元运算,
(1) 若对任意x,y∈S 有 x◦y=y◦x, 则称运算在S上满足交换律.
(2) 若对任意x,y,z∈S有 (x◦y)◦z=x◦(y◦z), 则称运算在S上满足结合律.
(3) 若对任意x∈S 有 x◦x=x, 则称运算在S上满足幂等律.

运算表中反应的运算性质：
说明：设为代数系统， ∗是定义在A上的二元运算则运算∗的某些性质可以直
接从运算表中得出：
(1) 运算∗是封闭的，当且仅当运算表中的每个元素都属于A ；
(2) 运算∗满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线对称；
(3) 运算∗满足幂等律，当且仅当运算表中主对角线上的每一个元素与它所对应的
行（列）表头元素相同

二元运算的性质：
定义：设◦和∗为S上两个不同的二元运算,
(1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运
算满足分配律.
(2) 若◦和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x, 则称◦和∗运算满足
吸收律.

特异元素：

定义：设◦为S上的二元运算,

• 如果存在el (或er)∈S，使得对任意 x∈S 都有 el◦ x = x (或 x ◦ er = x)，则称el (或er)是S中关于◦运算的左单位元(或右单位元). 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
• 如果存在θl (或θr)∈S，使得对任意 x∈S 都有 θl◦ x = θl (或 x ◦ θr = θr)，则称θl (或θr)是S 中关于◦运算的左零元(或右零元). 若θ ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算◦的零元.
• 设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算◦的单位元. 对于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e）则称yl(或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x是可逆的.

唯一性定理：

定理：设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er =e为S上关于◦运算的惟一的单位元

• 当 |S| >= 2，单位元与零元是不同的；
• 当 |S| = 1时，这个元素既是单位元也是零元.

设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y是 x 的惟一的逆元.

• 对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，记作 x−1

特异元素在运算表中的表现：

说明：设为代数系统， ∗是定义在A上的二元运算，则运算∗的特异元素可以直接从运算表中得出：

• 若A中有关于运算∗的零元，则该元素所在的行和列中的所有元素都等于该元素；
• 若A中有关于运算∗的单位元，则该元素所在的行和列中的所有元素都依次与行（列）表头元素相同；
• 设A中有关于运算∗的单位元e，元素a与b互逆，当且仅当运算表中a行、 b列对应的元素与a列、 b行对应的元素都是e。