欧拉筛——线性筛素数和欧拉函数

欧拉筛（线性筛）

ps：以下内容来自一个蒟蒻，如果有错误请各位大佬指出。
先来看下我以前用的埃氏筛法

for (int i=2;i<=n;i++)
 if (!vis[i]){
    for (int j=i+i;j<=n;j+=i) vis[j]=1;
    p[++p[0]]=i;
 }

这种写法显然会将一个数挖去多次，效率显然不是线性的，有dalao指出是 O(nlog2n) ,然而证不来QAQ。
下面来看下线性筛。

void get_phi(){
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i]){p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
            else{phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
        }
    }
}

首先看关于p[]的部分。
这个算法之所以能达到线性，就是因为它能做到每个数只筛一遍。
对于i，如果它是质数，那么用i筛的数前面肯定都没有筛过。
如果它是合数，把它转换为 i=p1a1∗p2a2∗p3a3...pkak （其中 p1到pk 递增），我们主要关注的就是使 i∗p[j] 只筛一遍，我想说如果 p[j] 大于 p1 都可以不筛，因为必然存在 i∗p[j]/p1 用 p1 筛。
这样可以证明筛素数的部分是线性的。

再看关于phi[]的部分
既然每个数只能筛一遍，那么我们必须用 phi[i] 推导出 phi[i∗p[j]] 。
首先素数的 phi 就是自身减一。
如果 p[j] 不是 i 的质因子，那么显然有 phi[i∗p[j]]=phi[p[j]]∗phi[i]
如果 p[j] 是 i 的质因子，显然有 i=p[j]x∗Y ,并且 p[j]x 和 Y 互质，那么就有 phi[i]=phi[p[j]x]∗phi[Y] ,因为 phi[p[j]x]=p[j]x∗(1−1p[j]) ,所以
phi[i]=p[j]x∗(1−1p[j])∗phi[Y]
phi[i∗p[j]]=p[j]x+1∗(1−1p[j])∗phi[Y]=p[j]∗phi[i]

在来看一道练手题——poj 2478
题目要求：求 phi[] 的前缀和。
解题思路：直接上欧拉筛。

#include
const int maxn=1000005,n=1000000;
int phi[maxn],p[maxn],x;
long long sum[maxn];
bool vis[maxn];
void get_phi(){
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i]){p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[p[j]]*phi[i];
            else{phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
        }
    }
}
int main(){
    freopen("exam.in","r",stdin);
    freopen("exam.out","w",stdout);
    get_phi();
    for (int i=2;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    while(1){
        scanf("%d",&x);
        if (!x) return 0;
        printf("%lld\n",sum[x]);
    }
}