BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法

一直觉得莫队莫队,这名字真好听,大概是初恋(小学的一个很可爱的女孩子)姓莫233?


题目链接:
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2038


Description

作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。


Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。


Output

包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)


Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6


Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15


【样例解释】

询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。


【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。


显然这道题作为莫队的入门题是相当不错的,我就只搞了三个小时(效率真低啊),现在大概懂了莫队是个什么东西,并且明白了怎么去实现(实现比较简单的莫队,好像还有其他数据结构维护的莫队,还有树上莫队…),这道题我们要先推数学式子
大概是这个样子
我们需要求的是sigma{C(2,cnt[val[i]])}/C(2,r-l+1)
BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法_第1张图片
(画的很丑,机房里没有数学公式编辑器)
大家可以先用笔把这个式子写下来,其中val存的是第i个数的值,cnt存的是该值的个数(cnt在修改的时候是动态的),这个式子显然是正确的,我们莫队的思路对于离线的询问,先把询问进行排序,排序的方式是先把所有询问的l值分块,然后按l来排序,如果在同一个l中就比较r的值,如果不在一个里就按l来排序,数据结构和排序的函数大概是这样的
数据结构:

struct Line{ int l,r,id; dnt a,b; }q[MAXN];

两个排序的cmp

bool cmp(Line a,Line b){
    if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r;
    else return a.l;
}
bool cmp_id(Line a,Line b){ return a.id; }

对于询问我们进行排序之后就可以依次处理,对于区间[l,r]到区间[l±1,r]或者区间[l,r±1]的转移是否可以很快得到呢?答案是显然的,接下来我们来推导其转移过程

令某一种在[l,r]中出现的次数为cnt[某],我们可以得到如下式子:

BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法_第2张图片

那么我们原来要求的下式可以进行转化:
BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法_第3张图片
可以转化为

BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法_第4张图片

注意这里将原来那个和式计算出来的结果的分子分母都同时乘以2,所以我们可以发现其中后面的-cnt[1]-cnt[2]-cnt[3]-…-cnt[n]竟然就是(r-l+1)的大小…所以就可以莫队了,每次修改的时候只修改cnt[某]^2的值即可,暴力扫一遍,莫队真是好东西

代码没压行,也有很多不要的头文件,printf故意为了增行233,如果压行的话应该60行左右吧

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define dnt long long
#define MAXN 50000+100
using namespace std;
int n,m;
dnt ans,cnt[MAXN];
int pos[MAXN],a[MAXN];
dnt gcd(dnt a,dnt b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }
dnt sqr(dnt x){ return x*x; }
struct Line{ int l,r,id; dnt a,b; }q[MAXN];
bool cmp(Line a,Line b){
    if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.relse return a.lreturn a.id"%d%d",&n,&m);
    int len=sqrt(n);
    for(register int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        pos[i]=(i-1)/len+1;
    }
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
}
void modify(int position,int add){
    ans-=sqr(cnt[a[position]]);
    cnt[a[position]]+=add;
    ans+=sqr(cnt[a[position]]);
}
void solve(){
    for(register int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++){
        for(;r<q[i].r;r++) modify(r+1,1);
        for(;r>q[i].r;r--) modify(r,-1);
        for(;l<q[i].l;l++) modify(l,-1);
        for(;l>q[i].l;l--) modify(l-1,1);
        if(q[i].l==q[i].r){
            q[i].a=0;q[i].b=1;
            continue;
        }
        q[i].a=ans-(q[i].r-q[i].l+1);
        q[i].b=(dnt)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
        dnt k=gcd(q[i].a,q[i].b);
        q[i].a/=k;q[i].b/=k;
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmp_id);
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        printf("%lld",q[i].a);
        printf("/");
        printf("%lld",q[i].b);
        printf("\n");
    }
}
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

这里写图片描述

BZOJ不能用cout输出,被这个卡了好久,要RE,就像这样

这里写图片描述

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