质因数分解(N, N!, 大数) 及 唯一分解定理

【唯一分解定理】

又称为 算术基本定理

定义：

任何一个大于1的自然数 ，如果$N$不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积$N=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}...P_n^{a_n}$，这里$P1<P_2<...<P_n$均为质数，其诸指数$a_i$是正整数。

这样的分解称为$N$的标准分解式。

应用：

1. $N$的正因数个数：${\sigma }_0(N)=(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)$，其中$a_i$为$N$的标准分解中各质数的指数。

2. $N$的全体正因数之和：${\sigma }_1(N)=(1+P_1+P_1^2+...+P_1^{a_1})(1+P_2+P_2^2+...+P_2^{a_2})...(1+P_n+P_n^2+...+P_n^{a_n})$

   结合等比数列求和公式，可推得：${\sigma }_1(N)=\frac{1-P_1^{a_1+1}}{1-P_1}\cdot \frac{1-P_2^{a_2+1}}{1-P_2}\cdot ...\cdot \frac{1-P_n^{a_n+1}}{1-P_n}$

3. 对于：
   $a=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$

   $b=p_1^{b_1}\cdot p_2^{b_2}\cdot p_3^{b_3}\cdots p_n^{b_n}$

有：
$$\gcd (a,b)=p_1^{\min (a_1,b_1)}\cdot p_2^{\min (a_2,b_2)}\cdot p_3^{\min (a_3,b_3)}\cdots p_n^{\min (a_n,b_n)}$$
$$lcm(a,b)=p_1^{\max (a_1,b_1)}\cdot p_2^{\max (a_2,b_2)}\cdot p_3^{\max (a_3,b_3)}\cdots p_n^{\max (a_n,b_n)}$$

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【质因数分解】

定义：

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，实际上就是 得到$N$的标准分解式。

模板：

①对$N$进行分解

先得到素数表，然后遍历拆分即可。对于$N$，只需要得到$1$~$\sqrt{N}$的素数表即可，即$maxn=\sqrt{N}$

int prime[maxn],tot;
bool vis[maxn];
void get_prime()       //欧拉筛得到素数表
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    tot=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
int p[maxn],a[maxn],cnt;
void get_prime_factor(int n)
{
    cnt=0;
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=n;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            cnt++;
            p[cnt]=prime[i];    //质因数
            a[cnt]=0;           //对应指数
            while(n%prime[i]==0)
            {
                a[cnt]++;       //统计个数
                n/=prime[i];
            }
        }
        if(n==1)
        	break;
    }
    if(n>1)   //不要漏了这句
    {
        cnt++;
        p[cnt]=n;
        a[cnt]=1;
    }
}

②对$N!$进行分解

很明显，对于$n!$，其质因数肯定 包括$1$~ $n$的所有质数，只是各质数的个数（指数）尚不确定（至少为$1$）。

$8!$：$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8$，以质因数$2$为例

其中$2$的倍数：$2,4,6,8$，共$4$个
其中$4$的倍数：$4,8$，共$2$个
其中$8$的倍数：$8$，共$1$个

参考blog：https://www.cnblogs.com/Slager-Z/p/7780382.html

所以质因数$2$在分解式中的指数为$4+2+1=7$个，这样就可以有效避免重复统计。

即$cnt(2)=8/2+8/2/2+8/2/2/2$，这个计算过程可以很简单地用递归实现：

int cal(int n,int p)     //计算n!中质因数p的个数(指数)
{
    if(n==0)
        return 0;
    return cal(n/p,p)+n/p;
}

完整代码：

int prime[maxn],tot;
bool vis[maxn];
void get_prime()       //欧拉筛得到素数表
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    tot=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
int cal(int n,int p)  //计算n!中质因数p的个数(指数)
{
    if(n==0)
        return 0;
    return cal(n/p,p)+n/p;
}
int p[maxn],a[maxn];
void get_prime_factor(int n)
{
    for(int i=1;prime[i]<=n;i++)
    {
        p[i]=prime[i];
        a[i]=cal(n,prime[i]);
    }
}

③Pollard-rho 大数因式分解

待补充…