【日常刷题】最长等差数列

51nod1055·最长等差数列

题面

题目描述

N个不同的正整数，找出由这些数组成的最长的等差数列。
例如：1 3 5 6 8 9 10 12 13 14
等差子数列包括(仅包括两项的不列举）
1 3 5
1 5 9 13
3 6 9 12
3 8 13
5 9 13
6 8 10 12 14
其中6 8 10 12 14最长，长度为5。

输入

第1行：N，N为正整数的数量(3 <= N <= 10000)。
第2 - N+1行：N个正整数。(2<= A[i] <= 10^9)

输出

最长等差数列的长度。

输入样例

10
1
3
5
6
8
9
10
12
13
14

输出样例

5

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题解

显然是一道动态规划。

由于要等差数列，因此需要排序。

设$f[i][j]$为：第$i$个数字作为等差数列的倒数第二位，第$j$的数字作为等差数列最后一位的 最长等差数列。

必然，当$n\ge 2$时必然能够形成大小为$2$的等差数列，故可得初始化$f[][]=2$.我们需要通过动态规划来找出大于等于$3$的长度的等差数列。

$f[i][j]=f[k][i]+1$.表示以j结尾的等差数列添上第i位。这里保证$k<j<i$且$a[j]+a[k]=2\ast a[i]$.
如果枚举每一个ijk，复杂度$O(n^3)$，妥妥的超时，所以我们可以优化枚举的状态。即枚举每一个i，根据第二个约束条件的大小关系逐渐将$k$向左，$j$向右扫，并在达到平衡状态时进行转移。这样复杂度$O(n^2)$。

i的枚举方式，即顺序枚举保证了$f[k][i]$的存在,即中间数$(k+i)/2<i$。

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$CODE$

#include
using namespace std;
const int maxn=10005;
int n;
int a[maxn];
short int ans=2;
short int f[maxn][maxn];
int main(void)
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	for (int i=1;i<=n;++i)	
	    for (int j=i+1;j<=n;++j)
	        f[i][j]=2;
	sort(a+1,a+n+1);
	for (int i=2;i<n;++i)
	{
		int k=i-1,j=i+1;
		while (k>=1 && j<=n)
		{
		    if (a[k]+a[j]<2*a[i]) j++;
		    else if (a[k]+a[j]>2*a[i]) k--;
		    else f[i][j]=f[k][i]+1,ans=max(ans,f[i][j]),k--,j++;
		}
	} 
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}