埃及分数 题解

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题目大意： 将一个分数 $\frac{a}{b}$ 分解成若干个单位分数 $\frac{1}{x}$ 的和，要求找到加数个数最少且最小的单位分数最大的方案。

题解

显然，我们不知道搜索的深度是多少，所以我们需要使用迭代加深搜索。

但是这样还不够，难道我们每次枚举分母的时候真的要枚举到 $10^7$ 吗？（那怕不是傻吧。。）于是，我们还需要几个优化。

首先优化分母枚举的下限。

优化1

我们设当前减去若干个单位分数后得到的分数是 $\frac{x}{y}$，当前枚举的分母为 $i$。

显然，一个优化就是每次的分母不可能比上一次的分母要小，于是可以从上一次的分母 $+1$ 开始枚举。

优化2

但这还不够，还有一个优化，就是每一次选取的分数不能大于$\frac{x}{y}$，也就是要满足$\frac{1}{i}<\frac{x}{y}$。为了把代码写的简洁一点并且避免精度误差，我们把柿子变换一下：
$$\begin{gathered} \frac{1}{i}<\frac{x}{y} \\ y<xi \end{gathered}$$
于是最后只需要从这两个优化中取个最大值，就知道下限了。

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接下来是优化上限。

优化3

假设我们现在还需要选 $k$ 个数。

因为后面的分母会越来越大，分数会越来越小，而我们要保证剩下的这 $k$ 个分数加起来是可以等于 $\frac{x}{y}$ 的，所以，对于当前选取的分母 $i$，我们对它有这样一个要求：$\frac{k}{i}>\frac{x}{y}$，也就是说，假设剩下的 $k$ 个分数全部都是 $\frac{1}{i}$，那么这些分数加起来肯定大于 $\frac{x}{y}$。

如果剩下的 $k$ 个数都是 $\frac{1}{i}$ 而他们加起来小于等于 $\frac{x}{y}$ 的话，那么因为实际上这 $k$ 个数一个比一个小，他们加起来一定小于 $\frac{1}{i}$，所以它们加起来也肯定小于 $\frac{x}{y}$。那这样的话往下肯定搜不到答案，所以我们在这个时候要停止。

再变换一下柿子：
$$\begin{gathered} \frac{k}{i}>\frac{x}{y} \\ ky>xi \end{gathered}$$
有了这两个限制条件，我们就可以快乐地搜索了~

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#define int long long//懒得一个个改于是就只好暴力一点了……

int a,b;
int ans[10010],anss=0;
int s[10010],t=0;
int least(int x,int y)//求出第一个小于x/y的单位分数的分母（优化2）
{
	for(int i=2;;i++)
	if(x*i>y)return i;
}
int gcd(int x,int y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
int maxx(int x,int y){return x>y?x:y;}
bool dfs(int re,int x,int y)//re表示还要选re个数（也就是上面的k）
{
	if(re==1)//当只剩最后一个数时，显然最后这个数我们只能选x/y
	{
		//如果x/y是个单位分数并且它比之前的解要更加优秀
		if(x==1&&y>s[t]&&(anss==0||y<ans[anss]))
		{
			anss=++t;s[t]=y;//更新答案
			for(int i=1;i<=t;i++)
			ans[i]=s[i];
			t--;
			return true;
		}
		return false;
	}
	bool getans=false;//记录是否找到答案
	//下限，两者间取个最大值
	for(int i=maxx(s[t]+1,least(x,y));re*y>x*i;i++)//上限如上所述
	{
		int yy(y/gcd(y,i)*i);
		int xx(x*(yy/y)-yy/i);//xx/yy = x/y - 1/i
		s[++t]=i;//记录减去的分数的分母
		if(dfs(re-1,xx/gcd(xx,yy),yy/gcd(xx,yy)))getans=true;
		t--;
	}
	return getans;
}
#undef int

int main()
{
	#define int long long
	scanf("%lld %lld",&a,&b);
	int gg=gcd(a,b);
	a/=gg;b/=gg;
	if(a==1)printf("%lld",b),exit(0);
	s[0]=1;
	for(int i=2;;i++)
	{
		t=0;
		if(dfs(i,a,b))//如果找到答案就输出
		{
			for(int i=1;i<=anss;i++)
			printf("%lld ",ans[i]);
			return 0;
		}
	}
}