DP专题

DP，即动态规划。从高中学习编程以来，我就没有完整，认真地学习过它。可事实证明，出来混迟早是要还的。过去欠下的漏洞，从现在开始填补。

言归正传，在我看来，DP与递推，贪心，数学归纳法都有相似之处。它与递推一样，只关注上一步与下一步的关系，事实上，许多dp最后的代码实现就是通过递推来写。它又和贪心很像，都是只关注局部最优解。它又和数学归纳法极其类似：找到边界，确定两步之间的关系。根据此关系，即可推出任意一步的结果。（一己之见，欢迎dalao批评指正）

以下给出例题（https://vjudge.net/contest/269597），为压缩篇幅，不贴完整代码，只给状态转移方程。

A - To The Max

大意：给一个N*N的数字矩形，求和最大子矩形

此题为最大子段和的升级版，对于最大子段和，我们知道其状态转移方程为：

事实上，我们只需先把上下两行确定，求出范围内每一列的和（即把矩阵压缩为一维数组），就可以把问题转化为求最大子段和。

每一列之和可以在输入时即预处理好。

B - Maximum sum

大意：求最大的两段子段和

分两种情况。对于以i结尾的这个状态，若只有一个子段，公式与最大子段和相同；若有两个子段，则先找到之前所有的单个子段中最大的那一个，比较它与以（i-1）结尾的，两个子段的大小，取较大的那一个，再加上a[i]自己

C - 最少拦截系统(导弹拦截)

大意：此题原题有两问，第一问：求最长不上升子序列；第二问：求拦截所有导弹，最少需要多少套系统。此题只截取了第二问。

对于第一问，很简单

第二问怎么求呢？有些人用dp+二分。但事实上，第二问就是在求最长上升子序列，证明如下

1）假设打导弹的方法是这样的：取任意一个导弹，从这个导弹开始将能打的导弹全部打完。而这些导弹全部记为为同一组，再在没打下来的导弹中任选一个重复上述步骤，直到打完所有导弹。

（2）假设我们得到了最小划分的K组导弹，从第a(1<=a<=K)组导弹中任取一个导弹，必定可以从a+1组中找到一个导弹的高度比这个导弹高（因为假如找不到，那么它就是比a+1组中任意一个导更高，在打第a组时应该会把a+1组所有导弹一起打下而不是另归为第a+1组），同样从a+1组到a+2组也是如此。那么就可以从前往后在每一组导弹中找一个更高的连起来，连成一条上升子序列，其长度即为K;

（3）设最长上升子序列长度为P，则有K<=P;又因为最长上升子序列中任意两个不在同一组内(否则不满足单调不升)，则有

P>=K，所以K=P。

所以......把第一问的符号改一下就好啦

D - Brackets sequence

大意：括号匹配加强版。给了一个括号序列（只有"("  ")"  "["  "]"） 现在让添加括号，使括号序列变得匹配，要求添加最少的括号，且输出这个匹配的括号序列。

区间DP。dp[i][j]表示区间i~j匹配添加括号后区间最小长度

注意当s[i]=='('&&s[j]==')' || s[i]=='['&&s[j]==']' 时，特判一下dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1]+2)，这样可以找出匹配后的序列最小长度，但是题目要求输出匹配的序列，那么可以在定义一个数组v[i][j] 标记i~j区间的断开位置，如果s[i]=='('&&s[j]==')' || s[i]=='['&&s[j]==']' 时 v[i][j]==-1, 然后在递归调用输出即可；

关于区间DP还不是很懂，等我再找一些题，下次开一篇新的博客专门写一下。