DP起手练习4(NOI导刊)

题目描述

数列(线性DP好题)

虽然msh长大了，但她还是很喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，她在纸上写了一串数字：1，l，2，5，4。接着她擦掉了一个l，结果发现剩下l，2，4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。她希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己位置上的数尽量多。她发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不疲地玩起来……不过她不能确定最多能有多少个数在自己的位置上，所以找到你，请你帮忙计算一下！

输入格式

第一行为一个数n，表示数列的长度。
接下来一行为n个用空格隔开的正整数，第i行表示数Ai。

输出格式

一行一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai=i最多能有多少。

输入输出样例

输入 #1
5
1 1 2 5 4
输出 #1
3
说明/提示
对于20%的数据，n≤20;
对于60%的数据，n≤100;
对于100%的数据，n≤l000.

思路

DP的码量很小,但个人认为思维难度仅次于数论,而这个DP基础题我都是费了很大劲才A了,还看了题解.
本题很容易想到用二维状态$f[i][j]$来表示前$i$个数中删除$j$个后的符合条件数的个数的最大值.那么根据题意我们到第$i$个数时有两种选择:
第一种:不选直接删,则有DP转移方程：$f[i][j]=f[i-1][j-1]$;
第二种:选择加入这个数,那么又有两种情况:
若($a[i]=i-j$(即为符合要求的数))则有$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]+1)$,
否则：$f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])$。
最后在循环中添加$ans$统计最大值即可.

代码

#include
#define N 1005
using namespace std;

int n,ans=-1;
int a[N],f[N][N];


int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)//预处理,避免在两重循环中特判f[i-1][j-1]
	{
		if(a[i]==i)f[i][0]=f[i-1][0]+1;
		else f[i][0]=f[i-1][0];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)//这里我简化了一点点
		{
			if(a[i]==i-j)f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]+1);
			else f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j]);
			ans=max(f[i][j],ans);
		}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;				
}