vijos - P1302连续自然数和 (公式推导 + python)

P1302连续自然数和

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描述

对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段（连续个数大于1），这些连续的自然数段中的全部数之和为M。

例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为M=10000的一个解。

格式

输入格式

包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）

输出格式

每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。

样例1

样例输入1[复制]

10000

样例输出1[复制]

18 142 
297 328 
388 412 
1998 2002

这道题目如果用C++可以直接枚举，很快就可以过，而且时间，但是这样对我们学习数论知识没有一点帮助，因为数论不只是简单的枚举更多的是公式的推导，所以我对于数论题目尽可能的使用耗时长一点的语言，来让我将代码变得更加简短，快速，比如这道题目，用一种方法python超时，但是c++46ms就可以过了，但是如果我用python将这道题目过了，用c++直接就是0ms。

我使用了一个公式推导式针对开始的前后两个数之差进行枚举计算

m = math.sqrt(float(2 * n) + pow(a * 0.5,2.0)) - a * 0.5

if m == int(m):
        print i + 1,i + int(m)

这个会超时，原因是，不管这个数符不符合条件，你都要进行这个式子的运算

会导致这样的结果，最后一个数据会超时：

如此进行代码优化：

对于等差数列公式得：(2a + m)(m + 1) = 2n -> 2a(m + 1) = 2n - m(m + 1) - > 2a = 2n / (k + 1) - m

又因为a为整数所以，2n % (k + 1)不为零的直接排除，接着是(2n / (k + 1) - m) % 2不为零的可以排除

这样很多情况只要判断一下就可以了，根本不需要进行什么计算，复杂度自然会减少很多

接着就是答案输出了

这里提供pythonAC代码：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

import math
n = int(raw_input())
cnt = int(math.sqrt(2 * n))
i = cnt
while cnt > 0:
    if not ((2 * n) % (cnt + 1)):
        m = 2 * n / (cnt + 1)
        m -= cnt
        m >>= 1
        if (2 * m + cnt) * (cnt + 1) / 2 == n and m >= 0:
            print m,m + cnt
    cnt -= 1
            

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