[23] Vijos P1781 同余方程（数论）

P1781同余方程

Accepted

标签： 数论 NOIP提高组2012

描述

求关于x的同余方程ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。

格式

输入格式

输入只有一行，包含两个正整数a, b，用一个空格隔开。

输出格式

输出只有一行，包含一个正整数x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

样例1

样例输入1[复制]

3 10

样例输出1[复制]

7

限制

每个测试点1s

提示

对于40%的数据，2 ≤b≤ 1,000； 
对于60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,000； 
对于100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,000。

来源

Noip2012提高组复赛Day2T1

思路

同余方程

在每一类下的任意两个数a,b都关于m同余。记为：

a≡b(mod m)

用集合论的语言，严格地来说就是：

对于整数集的任意一个子集Z,对于任意一个属于Z的元素n，n都除以m，得到的余数可以为0，1，2，...m-1,共m种。我们就以余数的大小作为标准，将Z分为m个互不相交的m个子集Z0,Z1,Z2,...Zm-1。

对于Zi的任意两个元素a,b,都关于m同余。记为

a≡b(mod m)

扩展欧几里德

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

代码

#include 
using namespace std;
int a,b,x,y;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里德 
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
	}
	else
	{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
	}
}
int main()
{
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b,x,y);
	cout<<(x+b)%b;
	return 0;
}

NOIP做题记录（提高组）