一文带你明白时间复杂度

一、排序算法

排序也称排序算法(Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

排序算法分类：

1.内部排序

指将需要处理的所有数据都加载到**内部存储器（内存）**中进行排序

2.外部排序

当数据量过大时，无法全部加载到内存中，需要借助**外部存储（文件等）**进行排序

3.常见的排序算法分类

二、时间复杂度

（一）度量一个程序（算法）执行时间的方法

1. 事后统计法：
顾名思义，执行完整个程序（算法）之后统计运行时间，这种方法需要依赖计算机的硬件和软件环境等因素，要求同一台计算机在相同状态下运行进行比较。不太可取。
2. 事前估计法：
通过分析某个算法的时间复杂度来判断那个算法更优。

（二）时间频度

1.时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比，那个算法中语句执行次数多，它花费时间就多，一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。
比如同样计算1-n所有数字之和：

int total = 0;
int n= 100;
for(int i=1; i<=n; i++){
	total += i;
}

利用for循环的时间频度：T(n) = n+1 (因为最后要执行依次判断，故+1)
而下面这种计算方法：

total = (1+n)*n/2

这种计算方法的时间频度为：T(n) = 1
说明：
1). 忽略常数项：

结论:

1. 2n+20 和 2n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 20可以忽略
2. 3n+10 和 3n 随着n 变大，执行曲线无限接近, 10可以忽略

2). 忽略低次项：

结论:

1. 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
2. n^2+5n+20 和 n^2 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

3). 忽略系数：

结论:

1. 随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略。
2. 而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方式关键

总：
当n越大时：

1. 常数项可以忽略
2. 低次项可以忽略
3. 系数可以忽略

介绍完时间频度之后就进入主题:时间复杂度

（三）时间复杂度

1.时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示（也就是时间频度），若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2. T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

3. 计算时间复杂度的方法：

   1. 用常数1代替运行时间中的所有加法常数： T(n)=3n²+2n+2 => T(n)=n²+2n+1
   2. 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 ： T(n)=3n²+2n+1 => T(n) = 3n²
   3. 去除最高阶项的系数： T(n) =3n² => T(n) = n² => O(n²)

2.常见的时间复杂度：

• 常数阶O(1)
• 对数阶O(log2n)
• 线性阶O(n)
• 线性对数阶O(nlog2n)
• 平方阶O(n^2)
• 立方阶O(n^3)
• k次方阶O(n^k)
• 指数阶O(2^n)

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。我们需要尽可能避免使用到指数阶算法。

1. 常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
i = i + 1;
int a = i + j;

上述代码在执行的时候，它消耗的时间并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2. 对数阶O(log2n)

int i = 1;
while(i < n){
i = i * 2;
}

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，当 i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

3. 线性阶O(n)

for(int i = 1; i <= n; ++i){
	j= i ;
	j++;
}

for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

4. 线性对数阶O(nlog2n)

for (m=1; m<n; m++){
    i = 1;
    while (i<n){
    i = i *2;
    }
}

线性对数阶O(nlog2N) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(log2n)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(log2N)，也就是了O(nlog2N)

5. 平方阶O(n^2)

for (x=1; i <=n; x++){
   for (i=1; i<=n; i++){
       j = i;
       j++;
   }
}

如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nxn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

6. 立方阶O(n^3)
立方阶就相当于在平方阶的基础上再添一层for循环
7. k次方阶O(n^k)
k次方阶就相当于在有k层for循环
8. 指数阶O(2^n)

public int aFunc(int n) {    
   if (n <= 1) {        
       return 1;
   } else {        
       return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);
   }
}

显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

三、最坏时间负责度

平均时间复杂度： 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
最坏时间复杂度： 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
平均时间复杂度与最坏时间复杂度：

四、空间复杂度

一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

空间复杂度(Space Complexity):是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况.

在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
随机硬件产品的价格越来越低，算法优化越来越趋向以空间换时间。