hdu6053
题意
给出 \(A\) 数组,问有多少种 \(B\) 数组满足下面条件。
- \(1≤ B_i ≤ A_i\)
- For each pair \(( l , r ) \ (1≤l≤r≤n) , gcd(b_l,b_{l+1}...b_r) ≥ 2\) 。
分析
首先肯定要去枚举 \(gcd\) ,如果暴力去计算,对于每个 \(gcd\) ,我们都要乘 \(n\) 次,这样显然会超时。考虑一种将区间分块的思想,如果 \(gcd\) 为 \(10\) ,那么区间 \([20, 30)\) 里的数除以 \(10\) 都是 \(2\) ,当 \(gcd\) 越大时,区间越大。我们直接统计下前缀和,可以查询某个区间里包含的数的个数,快速幂计算答案。
最后求得的 \(dp[i]\) 表示 \(gcd=i\) 时,构成的 \(B\) 数组的个数,可以用容斥去处理得到最后的答案。
code
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 10;
const int N = 1e5 + 5;
const ll MOD = 1e9 + 7;
int kase = 1;
int T;
ll POW(ll x, int n) {
ll res = 1;
while(n) {
if(n & 1) res = res * x % MOD;
x = x * x % MOD;
n >>= 1;
}
return res;
}
int sum[MAXN];
ll dp[MAXN];
int main() {
scanf("%d", &T);
while(T--) {
memset(sum, 0, sizeof sum);
memset(dp, 0, sizeof dp);
int n;
scanf("%d", &n);
int mn = N;
for(int i = 0; i < n; i++) {
int x;
scanf("%d", &x);
mn = min(mn, x);
sum[x]++;
}
for(int i = 1; i <= N; i++) {
sum[i] += sum[i - 1];
}
for(int i = 2; i <= mn; i++) {
ll c = 0;
dp[i] = 1;
for(int j = i; j <= N; j += i) {
c++;
int x;
if(j + i - 1 > N) x = sum[N] - sum[j - 1];
else x = sum[j + i - 1] - sum[j - 1];
if(x == 0) continue;
dp[i] = (dp[i] * POW(c, x)) % MOD;
}
}
for(int i = N; i >= 2; i--) {
for(int j = 2 * i; j <= N; j += i) {
dp[i] = (dp[i] - dp[j] + MOD) % MOD;
}
}
ll ans = 0;
for(int i = 0; i <= N; i++) {
ans = (ans + dp[i]) % MOD;
}
printf("Case #%d: %lld\n", kase++, ans);
}
return 0;
}