【HDU6053】TrickGCD(莫比乌斯容斥)

记录一个菜逼的成长。。

2017 Multi-University Training Contest - Team 2

题目链接

题目大意：

给你 A 序列，问有多少个 B 序列满足一下条件:
1. 1≤Bi≤Ai
2.任意一个区间 [l,r] 的 gcd>=2

笔记

官方题解:
令 F(i) 表示是 i 倍数的方案数，可以容易的通过预处理出前缀和后在 nlogn 的时间内求出，之后利用预处理出莫比乌斯函数后进行简单的反演即可算出答案，加上快速幂，总复杂度 O(nlogn2)

预处理前缀和是因为可以对一个区间进行统一操作。
比如当 gcd==2 时，区间 [4,5] 除以 2 的值都是 2 ，也就是对于每一个值在这个区间的 ai ，都只能取 2 或 4 。我们就可以对这个区间求和统一快速幂处理。
最后莫比乌斯容斥。

#include 
using namespace std;
#define rep(i,l,r) for( int i = l; i <= r; i++ )
#define rep0(i,l,r) for( int i = l; i < r; i++ )
#define ALL(v) (v).begin(),(v).end()
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define clr clear()
#define pb push_back
#define mp make_pair
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 1e9+7;
const int maxn = 100000 + 10;
int a[maxn],sum[maxn<<1];
bool check[maxn];
int mu[maxn],prime[maxn];
void Mobius()
{
  cl(check,false);
  mu[1] = 1;
  int tot = 0;
  for( int i = 2; i < maxn; i++ ){
    if(!check[i]){
      prime[tot++] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for( int j = 0; j < tot; j++ ){
      if(i * prime[j] >= maxn)break;
      check[i*prime[j]] = true;
      if(i % prime[j] == 0){
        mu[i * prime[j]] = 0;
        break;
      }
      else {
        mu[i * prime[j]] = -mu[i];
      }
    }
  }
}
LL Pow(LL a,LL b,LL c)
{
  LL ret = 1;
  while(b){
    if(b&1)ret = ret * a % c;
    b >>= 1;
    a = a * a % c;
  }
  return ret;
}
int main()
{
  Mobius();
  int T,cas = 1;scanf("%d",&T);
  while(T--){
    cl(sum,0);
    int n,mn = maxn;
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n)scanf("%d",a+i),mn = min(mn,a[i]),sum[a[i]]++;
    rep0(i,1,maxn<<1)sum[i] += sum[i-1];
    LL ans = 0;
    rep(i,2,mn){
      LL num = 1;
      for( int j = 1; j * i <= 100000; j++ ){
        //在这个区间内的每个a_i都有j个取值。
        num *= Pow(j,sum[i * (j + 1) - 1] - sum[i * j - 1],MOD);
        num %= MOD;
      }
      //ans = (ans - mu[i] * num) % MOD;
    }
    //printf("Case #%d: %lld\n",cas++,MOD - (ans + MOD) % MOD);
    printf("Case #%d: %lld\n",cas++,(ans + MOD) % MOD);
  }
  return 0;
}