普里姆算法(Prim)

 

 

普里姆算法是归并顶点的算法，与边数无关，所以适用于稠密图。

 

构造最小生成树一定有下面两个特点：

1、尽量选取最小的权值的边，并且不能有回路

2、n个顶点只选取n-1条边。

 

 

普里姆算法是由最小生成树(简称为：MST)的一条性质引出来的：

假设N=(V,E)是一个连通图，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有组小权值的边，其中u∈ U，v∈ V-U,则必存在一颗包含(u,v)的最小生成树。

 

 

 

prim算法思想：

假设N=(V,E)时连通图，TE是N上最小生成树中边的集合。

1、U={uo}(uo∈V),TE={}.

2、在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(uo,vo)并入集合TE,同时vo并入U。

3、重复2，直至U=V为止。

此时TE中必有n-1条边，则T=(V,TE )为N的最小生成树。

 

图解如下：

 

（1）图中有6个顶点v1-v6，每条边的边权值都在图上；在进行prim算法时，我先随意选择一个顶点作为起始点，当然我们一般选择v1作为起始点，好，现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点，TE集合为所找到的边，现在状态如下：

U={v1}； TE={}；

（2）现在查找一个顶点在U集合中，另一个顶点在V-U集合中的最小权值，如下图，在红线相交的线上找最小值。

通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1，那么将v3加入到U集合，（v1，v3）加入到TE，状态如下：

U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；

（3）继续寻找，现在状态为U={v1，v3}； TE={（v1，v3）}；在与红线相交的边上查找最小值。

我们可以找到最小的权值为（v3，v6）=4，那么我们将v6加入到U集合，并将最小边加入到TE集合，那么加入后状态如下：

U={v1，v3，v6}； TE={（v1，v3），（v3，v6）}； 如此循环一下直到找到所有顶点为止。

（4）下图像我们展示了全部的查找过程：

 

现在，普里姆算法的思路已经明确了，下面需要解决的问题是，如何实现普里姆算法：

 

普里姆算法的实现：

要实现普里姆算法，需要记录各个顶点是否已经并入U，还需要记录最小边在U和V-U中的顶点和权值，所以下面设置了一个数据类型，解决了上面所有问题。

struct{
    int        adjvex;    //   最小边在U中的那个顶点
    int        lowcost;    //   最小边上的权值
}closedge[MVNum];

closedge[i-1]是V-U中的顶点vi到U中的最小权值的边，他有两个域:adjvex是该边在U中的顶点，lowcost是该边的权值。

显然，closedge[i-1].lowcost=Min{cost(u,vi)|u∈U},其中cost(u,v)表示边(u,v)的权值。

 

接下来，还需要解决的问题是，如何才能确定一个顶点是否已经并入U。这里用了一个巧妙的办法，假设接下来要让vi这个顶点并入U，则令：closedge[vi].lowcost=0；这样就可以间接的表示为将vi并入了U。

 

这样一个数据结构即存储了最小边的权值，又存储了最小边的两个顶点。

 

prim算法步骤:

1、首先将初始化顶点u加入U中，对其余的每个顶点vi，经closedge[i]初始化为到u的边的信息。

2、循环n-1次，做如下步骤：

• 从各组边closedge中选出最小边closedge[k],输出此边
• 将k并入U中
• 更新剩余的每组最小边信息closedge[j]，对于V-U中的边，新增加了一条从k到j的边，如果新边的权值比closedege[j].lowcost小，则将closedege[i].lowcost更新为新边的权值。

 

算法代码：

注：这里的代码并不是可以直接拷贝就能实现的，里面是算法不是代码实现。并且是根据邻接矩阵实现的。

void MiniSpanTree_Prim(Graph G,VerTexType u)
{
    int k=LocateVex(G,u);
    for(int i=0;i"<

 

总结一下：

普里姆算法分为两部分：

1、初始化：将起始顶点u到V-U的closedge[i]初始化为u到其余顶点边的信息，并经u并入U

2、进行n-1次循环： 先找出当前从U到V-U到最小权值边，然后将该边在V-U的顶点并入U，然后更新从      U到V-U中顶点的路径

 

当这个算法结束后,closedge[]