DP经典题

1.分苹果

n 只奶牛坐在一排，每个奶牛拥有 $a_i$ 个苹果，现在你要在它们之间转移苹果，使得最后所有奶牛拥有的苹果数都相同，每一次，你只能从一只奶牛身上拿走恰好两个苹果到另一个奶牛上，问最少需要移动多少次可以平分苹果，如果方案不存在输出 -1。
输入描述:
每个输入包含一个测试用例。每个测试用例的第一行包含一个整数 n（1 <= n <= 100），接下来的一行包含 n 个整数 $a_i$（1 <= $a_i$ <= 100）。
输出描述:
输出一行表示最少需要移动多少次可以平分苹果，如果方案不存在则输出 -1。
示例1
输入
4
7 15 9 5
输出
3

苹果总数不能被均分时，不成立
平均数减去每头牛的苹果数不是二的倍数时，不成立
最后只需要记录苹果数小于平均数的牛的移动次数即可

#include 
using namespace std;

int a[105];

int main(void)
{
	int n, ave = 0, ans = 0;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
		ave += a[i];
	}
	bool flag = 1;
	if (ave % n != 0)
		flag = 0;
	else{
		ave /= n;
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			int d = ave - a[i];
			if (d % 2 != 0)
				flag = 0;
			else if (d > 0)
				ans += d / 2;
		}
	}
	if (flag)
		cout << ans << endl;
	else
		cout << "-1" << endl;
	
	return 0;
}

2.拼凑面额

给你六种面额1、5、10、20、50、100元的纸币，假设每种币值的数量都足够多，编写程序求组成N元（N为0-10000的非负整数）的不同组合的个数。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/14cf13771cd840849a402b848b5c1c93?orderByHotValue=0&commentTags=Python
来源：牛客网
输入描述:
输入为一个数字N，即需要拼凑的面额
输出描述:
输出也是一个数字，为组成N的组合个数。
示例1
输入
5
输出
2

完全背包求组合数问题，一般是将max改为相加即可。
当组成5000时，答案会超出int，需要设为long long。
dp[i][j]表示用前i种纸币来组成j，记得要将dp[0][0]初始化为1。

#include

int w[]={1,5,10,20,50,100};
long long dp[10][10005];

int main(void)
{
	int W;
	scanf("%d",&W);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<6;i++)
		for(int j=0;j<=W;j++)
		{
			if(j<w[i])
				dp[i+1][j]=dp[i][j];
			else
				dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-w[i]];
		}
	printf("%lld\n",dp[6][W]);
	return 0;
}

3.矩形覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6
来源：牛客网

在牛客上找到的题解，讲解的很清楚，这道题就是斐波那契。

4.连续子数组的最大和

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/459bd355da1549fa8a49e350bf3df484
来源：牛客网

class Solution {
public:
    int res = -0x3f3f3f3f, maxv = -0x3f3f3f3f;
    int FindGreatestSumOfSubArray(vector<int> array) {
        int n = array.size();
        for (int i = 0; i < n; i++){
            if (maxv >= 0)
                maxv += array[i];
            else
                maxv = array[i];
            res = max(res, maxv);
        }
        return res;
    }
};

5.斐波那契凤尾

NowCoder号称自己已经记住了1-100000之间所有的斐波那契数。
为了考验他，我们随便出一个数n，让他说出第n个斐波那契数。当然，斐波那契数会很大。因此，如果第n个斐波那契数不到6位，则说出该数；否则只说出最后6位。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c0a4b917a15f40a49ca10532ab9019fb?orderByHotValue=1&pos=1
来源：牛客网
输入描述:
输入有多组数据。每组数据一行，包含一个整数n (1≤n≤100000)。

输出描述:
对应每一组输入，输出第n个斐波那契数的最后6位。

示例1
输入
1234100000

输出
1235537501

WA到自闭的一道题，一看是斐波那契，就没仔细看，没想到这题暗藏玄机啊

#include

int n,t,arr[100005];

int main(void)
{
	arr[1]=1;arr[2]=2;
	for(int i=2;i<100000;i++)
	{
		t=arr[i];
		arr[i+1]=(arr[i]+arr[i-1])%1000000;
		arr[i]=t;
	}
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n<29)
			printf("%d\n",arr[n]);
		else
			printf("%06d\n",arr[n]);
	}
	return 0;
}

6.最小邮票数

有若干张邮票，要求从中选取最少的邮票张数凑成一个给定的总值。 如，有1分，3分，3分，3分，4分五张邮票，要求凑成10分，则使用3张邮票：3分、3分、4分即可。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/83800ae3292b4256b7349ded5f178dd1?pos=120&orderByHotValue=1
来源：牛客网
输入描述:
有多组数据，对于每组数据，首先是要求凑成的邮票总值M，M<100。然后是一个数N，N〈20，表示有N张邮票。接下来是N个正整数，分别表示这N张邮票的面值，且以升序排列。
输出描述:
对于每组数据，能够凑成总值M的最少邮票张数。若无解，输出0。

示例1
输入
10
5
1 3 3 3 4
输出
3

01背包问题的变形，把邮票的价值看作物品的重量，把物品的重量设为1，找最小的重量。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int main(void)
{
	int M,N;
	int w[25],v[25]; 
	int dp[25][105];
	while(scanf("%d",&M)!=EOF)
	{
		scanf("%d",&N);
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			scanf("%d",&w[i]);
			v[i]=1;
		}
		memset(dp[0],INF,sizeof dp[0]);
		dp[0][0]=0;
		for(int i=0;i<N;i++)
			for(int j=0;j<=M;j++)
			{
				if(j<w[i])
					dp[i+1][j]=dp[i][j];
				else
					dp[i+1][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
			}
		if(dp[N][M]==INF)
			printf("0\n");
		else
			printf("%d\n",dp[N][M]);
	}
	return 0;
}

7.神奇的口袋

有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是$a_1，a_2\dots \dots a_n$。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/9aaea0b82623466a8b29a9f1a00b5d35?toCommentId=1467409
来源：牛客网
输入描述:
输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1，a2……an的值。
输出描述:
输出不同的选择物品的方式的数目。
示例1
输入
3
20
20
20
输出
3

01背包

#include
#include
using namespace std;

int w[25];
long long dp[25][45];

int main(void)
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=40;j++)
		{
			if(j<w[i])
				dp[i+1][j]=dp[i][j];
			else
				dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i][j-w[i]];
		}
	printf("%lld\n",dp[n][40]);
	return 0;
}

8.网格走法数目

有一个X*Y的网格，小团要在此网格上从左上角到右下角，只能走格点且只能向右或向下走。请设计一个算法，计算小团有多少种走法。给定两个正整数int x,int y，请返回小团的走法数目。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/e27b9fc9c0ec4a17a5064fb6f5ab13e4?orderByHotValue=1&page=1&onlyReference=false
来源：牛客网
输入描述:
输入包括一行，逗号隔开的两个正整数x和y，取值范围[1,10]。
输出描述:
输出包括一行，为走法的数目。
示例1
输入
3 2
输出
10

如果按排列组合做的话就直接$C_{x+y}^x$，需要注意x=y=9时，会爆掉int，需要开成long long。

#include

void C(int n,int m)
{
	long long ans=1;
	for(int i=n;i>n-m;i--)
		ans*=i;
	for(int i=2;i<=m;i++)
		ans/=i;
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(void)
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	C(x+y,x);
	return 0;
}

如果用dp做的话，先设好边界条件，再进行状态转移即可。
dp[i][j]表示到达这个点有几种走法，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

#include
#include

int dp[15][15];

int main(void)
{
	int x,y;
	scanf("%d%d",&x,&y);
	for(int i=0;i<=10;i++)
		dp[i][0]=1;
	for(int j=0;j<=10;j++)
		dp[0][j]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++)
		for(int j=1;j<=10;j++)
			dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
	printf("%d\n",dp[x][y]);
	return 0;
}

这道题说的是网格，注意区分网格和其他的

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int dp[15][15];

int main(void)
{
	int x, y;
	cin >> x >> y;
	dp[1][1] = 1;//初始状态
	for (int i = 1; i <= x + 1; i++)
		for (int j = 1; j <= y + 1; j++)
			dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
	cout << dp[x + 1][y + 1] << endl;
	
	return 0;
}

9.采药

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。 为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。 医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说： “孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。 我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/d7c03b114f0541dd8e32ce9987326c16?orderByHotValue=2&done=0&pos=1&onlyReference=false
来源：牛客网
输入描述:
输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。
接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出描述:
可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
示例1
输入
70 3
71 100
69 1
1 2
输出
3

01背包

#include
#include
#include
using namespace std;

int v[105],w[105];
int dp[105][1005];

int main(void)
{
	int T,M;
	while(scanf("%d%d",&T,&M)!=EOF)
	{
		for(int i=0;i<M;i++)
			scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
		for(int j=0;j<=100;j++)
			dp[0][j]=0;
		for(int i=0;i<M;i++)
			for(int j=0;j<=T;j++)
			{
				if(j<w[i])
					dp[i+1][j]=dp[i][j];
				else
					dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
			}
		printf("%d\n",dp[M][T]);
	}
	return 0;
}

10.最大连续子序列

给定K个整数的序列{ $N_1,N_2,...,N_K$ }，其任意连续子序列可表示为{ $N_i,N_{i+1},...,N_j$ }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。现在增加一个要求，即还需要输出该子序列的第一个和最后一个元素。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/afe7c043f0644f60af98a0fba61af8e7
来源：牛客网
输入描述:
测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( K< 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。
输出描述:
对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。
示例1
输入
6
-2 11 -4 13 -5 -2
10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21
6
5 -8 3 2 5 0
1
10
3
-1 -5 -2
3
-1 0 -2
0
输出
20 11 13
10 1 4
10 3 5
10 10 10
0 -1 -2<——>原题这里有误，应该是-1 -1 -1
0 0 0

在求最大连续子序列和的基础上增加了输出子序列的首尾元素。
我开了一个first[10005]数组来记录以对应的数结尾的子列首元素，如果dp[i - 1] < 0，那么以arr[i]结尾的最大连续子序列就是arr[i]自己，所以此时first[i] = arr[i]。否则，first[i] = first[i-1]，首元素不变。
又使用了一个变量end来记录最大连续子序列的下标。

#include
#include
using namespace std;

int main(void)
{
	int k,ans,end;
	int arr[10005],dp[10005],first[10005];
	while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k)
	{
		for(int i=0;i<k;i++)
			scanf("%d",&arr[i]);
		dp[0]=arr[0];
		ans=dp[0];end=0;
		first[0]=arr[0];
		for(int i=1;i<k;i++)
		{
			if(dp[i-1]<0)//这时需要把first设为当前数 
				first[i]=arr[i];
			else//否则和上一个相同 
				first[i]=first[i-1]; 
			dp[i]=max(arr[i],dp[i-1]+arr[i]);
			if(ans<dp[i])
				end=i;
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d %d %d\n",ans,first[end],arr[end]);
	}
	return 0;
}

11.最大上升子序列和

一个数的序列$b_i$，当$b_1<b_2<...<b_S$的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列($a_1,a_2,...,a_N$)，我们可以得到一些上升的子序列($a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_K}$)，这里$1$ <= $i_1$ < $i_2$ < … < $i_K$ <= $N$。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中序列和最大为18，为子序列(1, 3, 5, 9)的和. 你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100, 1, 2, 3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1, 2, 3)。

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/dcb97b18715141599b64dbdb8cdea3bd
来源：牛客网
输入描述:
输入包含多组测试数据。
每组测试数据由两行组成。第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000（可能重复）。
输出描述:
对于每组测试数据，输出其最大上升子序列和。
示例1
输入
7
1 7 3 5 9 4 8
输出
18

最长上升子序列的变形
dp[i]的初始值应设为对应的元素值arr[i]，转移方程也变为dp[i] = max(dp[i], dp[j] + arr[i])

#include
#include
#include
using namespace std;

int main(void)
{
	int n;
	int arr[1005],dp[1005];
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&arr[i]);
		int ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			dp[i]=arr[i];
			for(int j=0;j<i;j++)
			{
				if(arr[j]<arr[i])
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+arr[i]);
			}
			ans=max(ans,dp[i]); 
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}