洛谷 P1020

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是≤50000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入输出格式

输入格式：

 

1行，若干个整数（个数≤100000）

 

输出格式：

 

2行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例#1： 复制

6
2

说明

为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分

每点两问，按问给分

思路：最多能拦截的导弹数=最长非升子序列，最少要配的系统数=最长上升子序列，前者显而易见，后者的严格证明嘛，我也不会。基本思路就是，选一个高度，然后按照题意把能拦截的导弹全部拦截，这样最终会把n个导弹分成k组，且每一组的高度都是非升序的，那么从每一组中选取第一个高度(最高的)，这样必定满足题意，且得到的序列长度就等于最长上升子序列的长度。为什么相等，你们从我这个nlgn求上升子序列方法的步骤就可以看出来。代码有解释，这里不想写了orz。

关于lower_bound等函数可以看这篇博客：https://blog.csdn.net/xiji333/article/details/87627628

#include
#include
#include
using namespace std;
        //最长上升子序列 LIS
        //维护low数组 low[i]表示长度为i的最长上升子序列的最后一个元素的值
        //若a[j]>=low[i](有没有等号 看具体情况) 则可把a[j]接在low[i]之后
        //即low[++i]=a[j]
        //若a[j]low[i]二分搜索第一个大于a[j]的的位置
        //用a[j]替换该位置的值
        //因为对一个上升子序列 若其中一个值越小 则越有利 时间复杂度O(nlgn)
int LOW[100005];//最上上升子序列
int MAX[100005];//最长非升子序列
int a[100005];

int main()
{
    int n=0;
    while(~scanf("%d",&a[n]))
        ++n;
    int k1=0,k2=0;
    LOW[0]=a[0];
    MAX[0]=a[0];
    for(int i=1;iLOW[k1])//最长上升子序列
            LOW[++k1]=a[i];
        else if(a[i]<=LOW[k1])
            *lower_bound(LOW,LOW+k1+1,a[i])=a[i];
        if(a[i]<=MAX[k2])//最长非升子序列
            MAX[++k2]=a[i];
        else if(a[i]>MAX[k2])
            *upper_bound(MAX,MAX+k2+1,a[i],greater())=a[i];//默认是升序的 这里要改成降序的
    }
    printf("%d\n%d\n",k2+1,k1+1);
    return 0;
}