线性代数(二十五) ： 克拉姆法则

本节讲解求解线性方程组的一种写法克拉姆法则(Cramer)

1 克拉姆法则

解线性方程组 Ax = u (A是可逆矩阵) 的克拉姆法则如下：

2 克拉姆法则的证明

首先方程组的解可写为以下形式：

因为Aej等于A的第j列aj,因此有：

将A的第k列换成u后得到Ak:

计算Ak的行列式并由行列式的多重线性性质可得：

由行列式性质可知上式仅仅第k项非零：

因为A可逆 所以detA不等于0,于是：

根据拉普拉斯公式 将detAk按第k列展开得到：

带入上式得到计算方程组解的克拉姆法则：

克拉姆法则就是通过计算行列式求解方程组，但是当矩阵规模较大时 ，计算量大大超过消元法。

3 克拉姆法则求解线性方程组示例

假设如下线性方程组 并假设矩阵可逆：