Mandelbrot集及python实现

什么是Mandelbrot集

Mandelbrot Set(曼徳勃罗特集)是复平面上的点集，以法国数学家“分形学之父” Beno`t Mandelbrot命名，因其图像精妙无比，被称为“上帝的指纹”，Mandelbrot集中的点满足从原点开始按照下面公式迭代下去，其模始终有界
$$z_{n+1}=f(z_n)=z_n^2+c$$
用集合的形式表示为
$$M=\{c\in \mathbb{C}:|f(z_n)|\le m,\forall n\in \mathbb{N},\exists m\in [0,\infty )\}$$
复平面中一个点 c 属于 Mandelbrot 集合，当且仅当对于给定的正数m，对所有的正整数n都满足$|z_n|\le m$，即由$z_n$构成的下列数列
$$0,f_c(0),f_c(f_c(0)),f_c(f_c(f_c(0))),\dots$$
$$=0,c,c^2+c,(c^2+c{)}^2+c,[(c^2+c{)}^2+c{]}^2+c,\cdots$$
或者收敛某个确定的值，或者变得无穷大，这与初始选择的参数 c有关，而曼德勃罗特就是由那些能够使得上面数列收敛的c构成。

四个例子

为了让这个公式更加直观，我们举4个例子具体算一算，
首先取一个特殊的c=0,此时对任意的n, 都有$z_n=0$。

然后再取c=0.1,此时
$z_0=0$
$z_1=z_0^2+c=0^2+0.1=0.1$
$z_2=z_1^2+c=0.1^2+0.1=0.11$
$z_3=z_2^2+c=0.01^2+0.1=0.101$
$z_4=z_3^2+c=0.001^2+0.1=0.1001$
随着n增大,$z_n$与0.1的差距越来越小，最后可以小于任意给定的正数。

然后取c=0.5时,则
$z_0=0$
$z_1=z_0^2+c=0^2+0.5=0.5$
$z_2=z_1^2+c=0.5^2+0.5=0.75$
$z_3=z_2^2+c=0.75^2+0.5=1.0625$
$z_4=z_3^2+c=1.0625^2+0.5=1.3789$
随着n增大，$z_n$的模越来越大，而不可能小于给定的正数。

最后取一个复数c=1+i, 此时
$z_0=0$
$z_1=z_0^2+c=0^2+(1+i)=1+i$
$z_2=z_1^2+c=(1+i{)}^2+(1+i)=1+3i$
$z_3=z_2^2+c=(1+3i{)}^2+(1+i)=-7+7i$
$z_4=z_3^2+c=(-7+7i{)}^2+(1+i)=1-97i$
随着n增大，$z_n$的模越来越大，而不可能小于给定的正数。

一般的，对于复数$c=a+bi$,其中a是复数c的实部，b为c的虚部，i为虚数单位，对于不同的a和b, 对应复平面上不同的点，公式迭代结果也不一样。对于有些c，数列取值约束在某一范围内；而对于另一些c，数列取值则发散到无穷大。如果我们把那些使得数列取值在某一范围内的c值收集起来，让其点缀在复平面上就会构成我们想要的Mandlebrot集合。这个性质也特别适合让我们通过迭代来判断一个点是否不属于 Mandelbrot 集合。 先来一睹效果图

python绘Mandlebrot集

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Thu Aug 22 22:01:29 2019
project name:Mandelbrot set
@author: 帅帅de三叔
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def iterator(c,r,max_iter):#定义逃逸时间函数，c为初始值，r为收敛半径，max_iter为最大迭代次数，返回逃逸时间
    z=c #初始值
    for iter in range(0,max_iter,1): 
        if abs(z)>r:break
        z=z**2+c 
    return iter 

def plot_mandelbrot(): #定义绘制mandelbrot图像 
    X=np.linspace(-1.75,1.05,5000) #实部范围，5000这个数要量力而行
    Y=np.linspace(-1.25,1.25,5000) #虚部范围，5000这个数要量力而行
    real,image=np.meshgrid(X, Y) #生成网格点坐标矩阵。
    c=real+image*1j #构造复数
    mandelbrot_set = np.frompyfunc(iterator, 3, 1)(c, 1.5, 100).astype(np.float) #frompyfunc(func, nin, nout)，其中func是需要转换的函数，nin是函数的输入参数的个数，nout是此函数的返回值的个数,frompyfunc把Python里的函数（可以是自写的）转化成ufunc
    plt.figure(dpi=600) #dpi设置分辨率尽可能高，细节显示更炫
    plt.imshow(mandelbrot_set,extent=[-1.35, 1.35, -1.25, 1.25]) #extent用来调节显示框大小比例
    #plt.axis('off') #是否显示坐标轴
    plt.show()

if __name__=="__main__":
    plot_mandelbrot()

代码解读

在绘制Mandelbrot集主要使用逃逸时间算法，逃逸时间指的是在指定范围(这里r=1.5)进行有限迭代，而不超出该区域的次数。逃逸时间算法通过定义色彩控制球，给出一种绘制三维分形图的方法，对于确定区域内的迭代初始点，首先将动力系统的迭代逃逸点或者非逃逸点映射到色彩控制球内，然后计算映射点到球心的距离，以该距离为参数，经由色彩控制函数确定迭代初始点的色彩，再以该色彩绘制迭代初始点域中的嵌入体表面，从而得到具有伪三维效果的分形图。

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