题解-萌数

题解-萌数

$\text{Introduction}$

夫蒟蒻初学数位 $\text{dp}$，寻水题而得《萌数》，乃谔谔做之。初适，做之悠然。而样例不过，渐生焦躁，AC时已过三，而错之甚奇，乃记之。

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$\text{Description}$

萌数
求区间 $[L,R]$ 中有长度大于 $2$ 的回文子串的数量。
数据范围：$1\le L<R\le 10^{1000}$。

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$\text{Solution}$

数位 $\text{dp}$ 典型题，如果你没学过数位 $\text{dp}$ 就跳进传送门→[传送门]。用记忆化搜索模型，用 $\text{DP(n)}$ 表示 $[1,n]$ 区间中的答案，$p$ 表示 $n$ 的位数，$n{l}_i$ 表示 $n$ 从右往左第 $i$ 位。

$$\text{Dfs(int w,int d,int ld,bool free,bool hw)}$$

表示：

当前要求从右往左第 $w$ 位数。

第 $w+1$ 位数为 $d$。

第 $w+2$ 位数为 $ld$。

如果前 $p-w$ 位和 $n$ 相同，$free=0$；否则 $free=1$。

如果前 $p-w$ 位中已经出现了“长度大于 $2$ 的回文子串”，$fw=1$；否则 $fw=0$。

$\text{Dfs}$ 的值表示数的数量。

如果找到的第 $w$ 个数字 $i$ 满足 $i==d$ 或 $i==ld$，就说明有了长度至少为 $2$ 的回文子串。用 $f_{w,d,ld,hw}$ 数字记下答案，完成记忆化搜索。

code

lng Dfs(int w,int d,int ld,bool free,bool hw){
	if(!w) return hw;
	if(free&&~f[w][d][ld][hw]) return f[w][d][ld][hw];
	int up=free?9:nl[w]; lng res=0;
	for(int i=0;i<=up;i++)
		(res+=Dfs(w-1,i,d,free||i<up,hw||i==d||i==ld))%=mod;
	/*
	下一位是w-1位，下一个数的上一个数是i，下一个数的上上个数是d。
	如果原来就free==1或者i与n的第w位不相同下一个free=1。
	如果原来就有了长度为2的回文子串或i,d形成回文子串或i,d,ld形成回文子串，下一个fw=1。
	*/
	if(free) f[w][d][ld][hw]=res;
	return res;
}

所以

$$\begin{gathered} \text{DP(n)}=\sum _{i=1}^{p-1}\sum _{j=1}^9\text{Dfs(i-1,j,10,1,0)} \\ +\sum _{j=1}^{n{l}_p-1}\text{Dfs(p-1,j,10,1,0)} \\ +\text{Dfs(p-1,}n{l}_p\text{,10,0,0)} \end{gathered}$$

。为什么 $ld=10$ ？因为 $ld$ 还不存在，而且如果你赋值为 $0$，会影响 $\text{Dfs}$ 结果；如果你赋值为 $-1$，会在记忆化数组的下标上 $\text{RE}$。所以赋值为 $10$ 是较好选择，然后记忆化数组的下标范围就要开 $11$。蒟蒻因为这里赋值成 $-1$ 而 $\text{WA}$ 了两次。

code

lng DP(char*n,lng a){
	int p=strlen(n+1); lng res=0;
	for(int i=1;i<=p;i++) nl[i]=n[p+1-i]-'0';
	nl[1]+=a;
	if(p==1&&nl[1]<=0) return 0;
	for(int i=1;nl[i]<0&&i<=p;i++)
		nl[i]+=10,nl[i+1]--;
	while(!nl[p]&&p>1) p--;
	// debug(p,nl);
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(int i=1;i<=p-1;i++)
		for(int j=1;j<=9;j++)
			(res+=Dfs(i-1,j,10,1,0))%=mod;  
	for(int j=1;j<=nl[p];j++)
		(res+=Dfs(p-1,j,10,j<nl[p],0))%=mod;
	return res;
}

然后最后答案就是 $\text{DP(R)}-\text{DP(L-1)}$，因为 $L$ 和 $R$ 远爆 $\text{long long}$，所以用字符串输入或处理。

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$\text{Code}$

#include 
using namespace std;

//&Start
#define lng long long

//&Debug
template<class T>
void debug(int x,T*arr){
	for(int i=1;i<=x;i++)
		cout<<arr[i]<<"\n "[i<x];
}

//&DP
const int W=1010,D=10;
const lng mod=1e9+7;
char L[W],R[W];
int nl[W];
lng f[W][D][D+1][2];
lng Dfs(int w,int d,int ld,bool free,bool hw){
	if(!w) return hw;
	if(free&&~f[w][d][ld][hw]) return f[w][d][ld][hw];
	int up=free?9:nl[w]; lng res=0;
	for(int i=0;i<=up;i++)
		(res+=Dfs(w-1,i,d,free||i<up,hw||i==d||i==ld))%=mod;
	if(free) f[w][d][ld][hw]=res;
	return res;
}
lng DP(char*n,lng a){
	int p=strlen(n+1); lng res=0;
	for(int i=1;i<=p;i++) nl[i]=n[p+1-i]-'0';
	nl[1]+=a;
	if(p==1&&nl[1]<=0) return 0;
	for(int i=1;nl[i]<0&&i<=p;i++)
		nl[i]+=10,nl[i+1]--;
	while(!nl[p]&&p>1) p--;
	// debug(p,nl);
	memset(f,-1,sizeof f);
	for(int i=1;i<=p-1;i++)
		for(int j=1;j<=9;j++)
			(res+=Dfs(i-1,j,10,1,0))%=mod;  
	for(int j=1;j<=nl[p];j++)
		(res+=Dfs(p-1,j,10,j<nl[p],0))%=mod;
	return res;
}

//&Main
int main(){
	scanf("%s %s",L+1,R+1);
	printf("%lld\n",(DP(R,0)-DP(L,-1)+mod)%mod);
	return 0;
}

祝大家学习愉快！