关于逆元（费马小定理，exgcd）

1.逆元是个什么东西
首先这里有个式子: $($ $\frac{a}{b}$ $)$ $mod$ $p$,这个式子的答案怎么求呢？？
A 直接求不行吗？
Q别想了不能。我们发现一个分数 mod 一个整数时是不能直接模运算的，但是可以进行乘法运算，我们就要用到逆元（大概可以看做一个数%p意义下的倒数吧）
除以一个数模$p$，就等于乘以一个数在mod p意义下的逆元
也就是说，它的定义可以表示为$ax\equiv 1$ $(mod$ $n)$
2. 求逆元的方法之——费马小定理

1. 费马小定理：对于整数 a 与质数 p ，若 a 与 p 互质，则有： $a^{p-1}\equiv 1$ $mod$ $p$
2. 求逆元：$a^{p-1}\equiv 1$ $mod$ $p$故$a^{p-2}\ast p\equiv 1$ $mod$ $p$，所以$a^{p-2}$为$a$ $mod$ $p$意义下的逆元
3. 代码（就是个快速幂）

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p,r;
ll n;
ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
	ll r=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)r=r*a%p;
		b>>=1;
		a=a*a%p;	
	}
	return r;
}
int main()
{
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
{
		ll hh=ksm(i,p-2,p);
	cout<

3.方法二——扩展欧几里得

1. exgcd可以用来判断并求解形如$ax+by=c$ 的方程，当且仅当$gcd(a,b)\mid c$，存在整数解$x,y$
2. 证明：扩欧证明
3. 求逆元：
   设$m$为$a$的逆元，那么有$am\equiv 1($ $mod$ $p)$
   那么显而易见地我们可以写成$am-pn=1$
   然后就可以exgcd解啦
4. 代码

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s<='9'&&s>='0'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x=f*x;
}
int n,p;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	int t;
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
}
int main()
{
	read(n);read(p);
	register int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		exgcd(i,p,x,y);
		cout<<(x+p)%p;
		putchar('\n');
	}
}

4.线性求逆元
虽然已经有2种方法，但是对于这样的题模板还是会$T$
于是我们不得不学习线性逆元
就可以使用递推法 。

$i$ 模 $p$ 意义下的逆元 $inv(i)$可表示为 :

$inv(i)=-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times inv(p\%i)\%p$

#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s<='9'&&s>='0'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x=f*x;
}
int n,p;
ll a[5000005];
int main()
{
	read(n);read(p);
	a[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		a[i]=(ll)p-(p/i)*a[p%i]%p;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	printf("%d\n",a[i]);
}

$没了qwq$
康娜酱！！！！！！