SPOJ 7001 Visible Lattice Points (数论关于gcd，超经典极力推荐-莫比乌斯反演)

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SPOJ Problem Set (classical) 7001. Visible Lattice Points Problem code: VLATTICE

Consider a N*N*N lattice. One corner is at (0,0,0) and the opposite one is at (N,N,N). How many lattice points are visible from corner at (0,0,0) ? A point X is visible from point Y iff no other lattice point lies on the segment joining X and Y. 
 
Input : 
The first line contains the number of test cases T. The next T lines contain an interger N 
 
Output : 
Output T lines, one corresponding to each test case. 
 
Sample Input : 
3 
1 
2 
5 
 
Sample Output : 
7 
19 
175 
 
Constraints : 
T <= 50 
1 <= N <= 1000000

---

Added by:	Varun Jalan
Date:	2010-07-29
Time limit:	7s
Source limit:	50000B
Memory limit:	256MB
Cluster:	Pyramid (Intel Pentium III 733 MHz)
Languages:	All except: NODEJS PERL 6
Resource:	own problem used for Indian ICPC training camp

题意：0<=x,y,z<=n，求有多少对xyz满足gcd(x,y,z)=1。

题解：需要用到莫比乌斯反演，好久之前都看过这定律，直到今天做了这道题才弄懂。

首先我们介绍下莫比乌斯反演：

g(n)=sigma(d|n,f(d))

f(n)=sigma(d|n,u(d)*g(n/d))

u(d)定义

若d=1    那么μ(d)=1
若d=p1p2…pr    （r个不同质数，且次数都唯一）μ(d)=(-1)^r
其余    μ(d)=0

其实还有一种写法：

g(n)=sigma(d|n,f(d))

f(n)=sigma(n|d,u(d/n)*g(d))

这里我们设g(x)为满足x | (i, j, k)的个数，f(x)为满足(i, j, k) = x的个数。

所以g(n)=sigma(d|n, f(d)) = [n/x] * [n/x] * [n/x]。

而题目要求f(1)等于多少，f(1)=sigma(1|d,u(d)*g(d))。

所以现在关键的是求u(d),可以通过线性筛选素数的方法求解u，详细请看下面代码。

然后还要加上三个平面上面的gcd，直接mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3)，二维的比三维的少一维-三个平面。

别忘了还有x,y,z三个轴。

好了，到这里全部的算法都以说清楚了……

AC代码：

10188459

2013-10-06 09:31:55

xiaohao

Visible Lattice Points

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