Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 28892 Accepted Submission(s): 12643
大家常常感慨,要做好一件事情真的不容易,确实,失败比成功容易多了!
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
输入数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占用一行,每行包含一个正整数n(1
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量,每个实例的输出占用一行。
2 3
1 2
这道题要自己模拟很麻烦,如果找到规律后就很快了。
#include
using namespace std;
#define fr(i, r, n) for(int i = r; i < n; ++i)
const int maxn = (int)2e5 +10;
typedef long long ll;
int main()
{
int n;
ll arr[30];
memset(arr, 0, sizeof arr);
fr(i, 1, 25)//规律
{
if(i&1)
arr[i+1] = arr[i]*(i+1)+1;//当i为奇数时,下一个的数值等于这一个的数值*下一个的序号+1
else
arr[i+1] = arr[i]*(i+1)-1;//偶数时,下一个的数值等于这一个的数值*下一个的序号-1
}
while(cin>>n)
{
cout<
但是如何找到规律呢,我们可以对前几个数进行打表,如下:
int arr[20];
int ans;
for(int i = 1; i <=10; i++)
{
ans = 0;
for(int j = 1; j <= i; j++) arr[j] = j;
do{
for(int k = 1; k <= i; k++)
{
if(arr[k] == k)
break;
if(k == i) ans++;
}
}while(next_permutation(arr+1, arr+i+1));
cout<
错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题,错排数也是一项重要的数。令 是
的一个错排,如果每个元素都不在其对应下标的位置上,即
,那么这种排列称为错位排列,或错排、重排(Derangement)。我们从分析1 2 3 4的错排开始:
1 2 3 4的错排有:
4 3 2 1,4 1 2 3,4 3 1 2,
3 4 1 2,3 4 2 1,2 4 1 3,
2 1 4 3,3 1 4 2,2 3 4 1。
第一列是4分别与123互换位置,其余两个元素错排。
1 2 3 4->4 3 2 1,
1 2 3 4->3 4 1 2,
1 2 3 4->2 1 4 3。
第2列是4分别与312(123的一个错排)的每一个数互换
3 1 2 4->4 1 2 3,
3 1 2 4->3 4 2 1,
3 1 2 4->3 1 4 2。
第三列则是由另一个错排231和4换位而得到
2 3 1 4->4 3 1 2,
2 3 1 4->2 4 1 3,
2 3 1 4->2 3 4 1
上面的分析结果,实际上是给出一种产生错排的结果。
为求其递推关系,分两步走:
第一步,考虑第n个元素,把它放在某一个位置,比如位置k,一共有n-1种放法;
第二步,考虑第k个元素,这时有两种情况:(1)把它放到位置n,那么对于除n以外的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,所以剩下n-2个元素的错排即可,有 种放法;(2)第k个元素不放到位置n,这时对于这n-1个元素的错排,有
种放法。
根据乘法和加法法则,综上得到
特殊地, 。此外,存在
因此, 。