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因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性,所以只能用数组来实现。如果数据存储在链表中,我们只需要对链表稍加改造,就可以支持类似“二分”的查找算法。我们把改造之后的数据结构叫做跳表(Skip list)。
跳表:是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速地插入、删除、查找操作,写起来也不复杂,甚至可以替代红黑树(Red-black tree)。
单链表中即使存储的数据有序,我们要查找一个元素也要从头到尾遍历链表,这样查找效率很低,时间复杂度为O(n)。
为了提高查找效率,可以对链表建立一级索引,每两个结点提取一个节点到上一级,把抽出来的那一级叫做索引或索引层。如图,down表示为down指针。
如果我们现在要查找某个结点,比如 16。我们可以先在索引层遍历,当遍历到索引层中值为 13 的结点时,我们发现下一个结点是 17,那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。这个时候,我们只需要再遍历 2 个结点,就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样,原来如果要查找 16,需要遍历 10 个结点,现在只需要遍历 7 个结点。
加一层索引后,查找一个结点需要遍历的结点个数减少了,也就是查找效率提高了。
在第一级索引的基础上,每两个结点抽出一个结点到第二级索引,如下图,现在查找16只需要遍历6个节点了,遍历的结点又减少了。
假如有64个结点的链表,建立五级索引,如下图:
在没有索引的时候,查找62需要遍历62个结点,现在只需要遍历11个结点,当n比较大的时候,查找效率的提升会非常明显。
在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)。 在一个具有多级索引的跳表中,查询某个数据的时间复杂度是多少呢?
把问题分解一下,先来看这样一个问题,如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?
每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k级索引结点的个数就是 n / ( 2 k ) n/(2^k) n/(2k)。
假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n / ( 2 h ) = 2 n/(2^h)=2 n/(2h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是$ log_2n$。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。
那这个 m 的值是多少呢?按照前面这种索引结构,我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点,也就是说 m=3,为什么是 3 呢?
假设我们要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,我们遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以我们通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有 3 个结点(包含 y 和 z),所以,我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
通过上面的分析,我们得到 m=3,所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说,我们其实是基于单链表实现了二分查找。
跳表的空间复杂度分析并不难,我在前面说了,假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。
这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。如果我们每三个结点或五个结点抽一个结点到上层索引,需要的索引结点的存储空间将更少。
实际软件开发过程中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引所占的额外空间就可以忽略了。
跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。
单链表一旦定位好要插入数据的位置,插入结点的时间复杂度是O(1)。查找插入位置是比较费时的。
对于跳表来说,查找时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn),所以插入时间复杂度为 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。
如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果我们用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。
当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。
如果你了解红黑树、AVL 树这样平衡二叉树,你就知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡(如果不了解也没关系,我们后面会讲),而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。当我们往跳表中插入数据的时候,我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。我们通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。
为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合,而不是红黑树?
Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个:
插入一个数据;
删除一个数据;
查找一个数据;
按照区间查找数据(比如查找值在[100, 356]之间的数据);
迭代输出有序序列。
其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高。对于按照区间查找数据这个操作,跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点,然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。当然,Redis 之所以用跳表来实现有序集合,还有其他原因,比如,跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单,但比起红黑树来说还是好懂、好写多了,而简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。不过,跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些,很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候,直接拿来用就可以了,不用费劲自己去实现一个红黑树,但是跳表并没有一个现成的实现,所以在开发中,如果你想使用跳表,必须要自己实现。
如果每三个或者五个结点提取一个结点作为上级索引,对应的在跳表中查询数据的时间复杂度是多少呢?
如果每三个或者五个节点提取一个节点作为上级索引,那么对应的查询数据时间复杂度,应该也还是 O(logn)。
假设每 5 个节点提取,那么最高一层有 5 个节点,而跳表高度为 log5n,每层最多需要查找 5 个节点,即 O(mlogn) 中的 m = 5,最终,时间复杂度为 O(logn)。
空间复杂度也还是 O(logn),虽然省去了一部分索引节点,但是似乎意义不大。
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