离散数学-图论-基础整理

图论-基础整理

写于大二上学期的期末，正好复习到图论，就想着把知识点总结成博客，当作复习了。

基本概念

定义

• 图G的节点数称为图$G$的阶。
• 图G中点u的度 $d(u)$ 是G中与u关联的边的条数。每个环在计算时算2条边。
  • 入度:指的是与$u$关联的入边的数目。
  • 出度:指的是与$u$关联的出边的数目。
• 只有一个孤立节点的图称作平凡图。
• 各个点度相等的图称为正则图。
  • 点度为$k$的正则图称为k度正则图。
• 每对节点$u$和$v$之间皆有边$(u, v)$和$(v, u)$连接的简单有向图称为有向完全图。
  • 相对的，恰有一条边联通的简单有向图称为竞赛图。
• 二部图, $G = ( V, E )$ 的结点集可以划分为两个子集$X$、$Y$，使得它的每一条边的一个关联节点在$X$中，另一个关联节点在$Y$中。（有点像有丝分裂时候的中心体那样）
  • 如果$X$中每个结点与$Y$中的全部节点都邻接，则称$G$为完全二部图。

• $G=(V_1, E_1)$ 和 $H=(V_2, E_2)$是两个图，若满足$V_1 \subseteq V_2且E_1 \subseteq E_2$则称G是H的子图。

  • 当$V_1=V_2$时，G是H的生成子图。
  • 当$E_1\subset E_2 或 V_1 \subset V_2$，称G是H的真子图。
  • 当$V_1=V_2且E_1=E_2或E_1=\emptyset$, 称G是H的平凡子图。

• 设$G=(V, E)$是一个图，$S \subseteq V$，则$G(S)=(S, E’)$是一个以S为点集，以$E’=\{ uv|u,v \in S, uv \in E \} $为边集的图，称为G的点诱导子图

• 设$G=(V, E)$是一个图，$T \subset E$并且$T \neq \emptyset$，则$G(T)$是一个以$T$为边集，以$T$中各个边关联的全部的结点为结点集的图，称为$G$的边诱导子图

• 设$G=(V, E)$和$G’=(V’, E’)$是两个简单图。若$V’=V, E’=\{ uv|v, u \in V, uv \notin E \} $即边$uv\in E’$当且仅当$uv\notin E$, 则称$G’$是$G$的补图。

• 设$G=(V, E)$和$G’=(V’, E’)$是两个图，如果存在双射$\varphi :V \to V’$，使得 $uv \in E \Leftarrow \Rightarrow \varphi(u)\varphi(v)\in E’$，则称$G$与$G’$ 同构，记为$G \simeq G’$。

• 给定图$G=(V, E)$，设$W: E\rightarrow \textbf{R}, \textbf{R}$为实数集，对$G$中任意的边$e_i=(u, v)$，设$W(e_i)=\omega_i$，称实数$\omega_i$为边$e_i$上的权，并将$\omega_i$标注在边$e_i$上，称$G$为带权图，可以将$G$记为$(V, E, W)$

• 图（或有向图）$G=(V, E)$中的非空序列$P=v_0e_1v_1e_2…e_kv_k$称为$G$的一条由结点$v_0$到$v_k$的道路(或有向道路)，其中$v_0, v_1 … v_k$是G中的结点，$e_1e_2…e_k$是G中的边（或有向边），并且对所有$1 \leqslant i \leqslant k$，边$e_i$与结点$v_{i-1}$和$v_i$都有关联（或$e_i$是由$v_{i-1}$指向$v_i$的有向边）。

  • $v_0$称为道路$P$的起点，$v_k$称为$P$的终点，其余结点称为内部结点。$P$中边的数目$k$称为该道路的长度。以$u$为起点, $v$为终点的道路有时也简记为$\langle u, v \rangle$道路。
  • 对于由单个结点构成的序列$P=v_0$，看成是道路的特殊情形，称为零道路，其长度为$0$。
  • 道路的分类：
    • 若$v_0 \neq v_k$，即起点和终点不同，则称$P$为开道路，否则称为闭道路。
    • 若$P$中的边（或有向边）互不相同，则称$P$为简单道路。闭的简单道路称为回路。（即回路是非空序列$P$中边/有向边互不相同且起点终点相同的道路）
    • 若$P$中结点互不相同，则称$P$为基本道路。若$P$中除了起点和终点相同外，别无相同的结点，则称$P$为圈。将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。
  • 若一个图能以一条基本道路表示出来，则称这个图为道路图。

• 若图$G$中结点$u$和$v$之间存在一条$P\langle u, v \rangle$道路。则称$u$和$v$在$G$中是连通的。在有向图中，若存在$P\langle u, v \rangle$有向道路，则称$u$到$v$是有向连通，会称$u$到$v$是$u$可达于$v$。

  • 对于连通关系，存在着图$G$的结点集$V$的一个分划$\{ V_1, V_2, … , V_k \}$，使得$G$中任何两个结点$u$和$v$都是联通的，当且仅当$u$和$v$属于同一个分块$V_i(1 \leqslant i \leqslant k)$。这样，点诱导子图$G(V_i)$中任何两个结点都是连通的，而当$i \neq j$ 时，$G(V_i)$的结点与$G(V_j)$的任何两个结点都是绝不连通的，因此$G(V_i)(1 \leqslant i \leqslant k)$是$G$的极大连通子图，特别称为$G$的支。图$G$的支数记为$\omega(G)$。
    • 只有一个支数的图称为连通图。
    • 支数大于1的图称为非连通图。

• 设$u$和$v$是图$G$中的两个结点，若$u$和$v$是连通的，$u$和$v$之间的最短道路之长称为$u$和$v$之间的距离。记为$d\langle u, v \rangle$。若$u$和$v$不是连通的，规定$d\langle u, v \rangle=\infty$

• 设$G(V, E)$是连通图。若存在$S \subseteq V$，使得$\omega(G-S)\gt1$，则称$S$是$G$的一个点隔集(简称割集)。若对任何$S’\subset S$都有$\omega(G-S’)=1$，则称$S$为$G$的一个基本割集。特别地，当$\{u\}$是$G$的割集时，称$u$是$G$的割点。
  • 图$G$的点连通度$\kappa(G)$是由$G$产生一个非连通子图，或一个结点的子图需要删去的最少结点的数目。
• 设$G=(V, E)$是连通图。如果存在$E_1 \subseteq E$，使得$\omega(G-E_1) \gt 1$，则称$E_1$为$G$的一个边割集；如果对如何$E’\subset E_1$都导出$\omega(G-E’) = 1$，则称$E_1$为$G$的一个基本边割集。特别的如果$\{e\}$是$G$的边割集，则称$e$为$G$的割边。
  • 图$G$的边连通度$\lambda(G)$，是由$G$产生一个非连通图所需要的删去的的最少边的数目；如果$G$只有一个结点，则$\lambda(G)=0$。

• 如果$\kappa(G) \geqslant k$，称$G$是$k$连通；如果$\lambda(G) \geqslant k$，则称$G$是$k$边连通的。

• 设$G=(V, E)$是一个简单有向图。如果对$G$中任何一对结点，至少从其中一结点到另一结点是可达的，则称$G$是单向连通图（至少其中一个可以到达另一个的位置）；如果任何两个结点之间都是互相可达的，则称$G$是强连通图（不管哪两个点都能互相到达对方的位置）。如果$G$的基图是连通的，则称$G$是弱连通图（至少不规定方向的时候可以到达对方的位置）

• 设$G=(V, E)$是一个简单有向图，称$G$的极大强连通子图为$G$的强分图，称$G$的极大单向连通子图为$G$的单向分图，称$G$的极大弱连通子图为$G$的弱分图。

• 设$G=(V, E)$是一个简单有向图，结点集为$V=\{v_1, v_2, … , v_n\}$构造矩阵$A=(a_{ij})_{m \centerdot n}$，其中$\begin{equation} a_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 & & (V_i, V_j) \in E \\ 0 & & (V_i, V_j) \notin E \end{aligned} \right. \end{equation} $称$A$为有向图$G$的邻接矩阵。（由横指向纵，有道路就是1，没有道路就是0）

• 设$G=(V, E)$是一个$n$阶的有向简单图，$V=\{v_1, v_2, … , v_n\}$，定义矩阵$P=(p_{ij})_{n \centerdot m}$，其中$\begin{equation} p_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 & & \qquad i到j存在非0有向道路 \\ 0 & & other \end{aligned} \right. \end{equation} $称$P$是图G的可达性矩阵或道路矩阵。
  • 求可达性矩阵的方法:先构造进阶矩阵$A, A^2, … , A^n$，在构造$B_n=A+A^2+…+A^n$，最后利用关系$\begin{equation} p_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 & & b_{ij}^{(n)} \gt 0 \\ 0 & & b_{ij}^{(n)}=0 \end{aligned} \right. \end{equation} $，得到可达性矩阵$P$。（遍历全部结点如果从1到n都没有一条长度不是0的道路，说明不可达；有就说明可达）（只表示图的部分信息，只能说明某两个点可不可达，无法知其中具体的道路）
• 设$G=(V, E)$是一个无环的、至少有一条有向边的有向图，$V=\{v_1, v_2, … , v_n\}, E=\{e_1, e_2, … , e_m\}$，构造矩阵$M=(m_{ij}^{n \centerdot m})$，其中$\begin{equation} m_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 & & \qquad 当e_j是v_i的出边 \\ -1 & & \qquad 当e_j是v_i的入边 \\ 0 & & other \end{aligned} \right. \end{equation} $，称$M$是图$G$的关联矩阵。（横表示点，纵表示边，交叉的数值：$1$表示这个点的出边；$-1$表示这个点的入边；$0$表示没啥关系）

基本定理及推论

1. 握手定理: 对于任何$(n, m)$图$G=(V, E)$有$\sum_{u \in V}d(u)=2m$。（图中所有点的度数等于边的数目的2倍）

   • 是奇数度的结点总数必是偶数个。

2. 对于任何$(n, m)$有向图$G=(V, E)$，满足$\sum_{u \in V}d^+(u)+\sum_{u \in V}d^-(u)=2m$且$\sum_{u \in V}d^+(u)=\sum_{u \in V}d^-(u)=m$。（出度与入度的和即为度总和即为$2$倍的边数目，所有结点的出度数与入度数相等即为m）

3. 如果在$n$阶图中，存在从结点$u$到$v$的道路，则必存在从$u$到$v$的长度不超过$n-1$的道路。

4. 在非平凡连通图$G$中，结点$v$为$G$的割点的充要条件是存在结点$u$和$w$，使得$u$到$w$的每一条道路都包含$v$结点。（断开这个点后至少$u$和$w$分属于两个不连通的部分，从而使得支数大于$1$）

5. 在连通图$G$中，边$e$为割边的充要条件是e不包含于$G$的任何圈中。（无环的道路只要断一条边就不在连通）

6. 一个简单有向图是强连通的，当且仅当$G$中有一条包含每个结点的有向闭道路。（保证每个点都能在这条路上从这个点的某一侧到达另一个点）

7. 在简单有向图$G=(V, E)$中，每个结点位于且仅位于一个强分图中。

8. 设$G=(V, E)$是一个$n$阶的简单有向图，$A$是$G$的邻接矩阵。对$k \geqslant 1$，令$A^k=(a_{ij}^{(k)})_{n \centerdot n}$，则$a_{ij}^{(k)}$表示$G$中从$v_i$到$v_j$的长度为$k$的有向道路的数目。

   • 设$A$是简单有向图$G$的邻接矩阵。令$A^k=(a_{ij}^{(k)})_(n \centerdot n), k \geqslant 1$，是使$a_{ij}^{(k)} \gt 0$的最小值，则$k$正是$v_i$到$v_j$的距离$d(v_i, v_j)$。
   • 设$A$是简单有向图$G$的邻接矩阵。令$A^k=(a_{ij}^{(k)})_(n \centerdot n)$，则对$1 \leqslant k \leqslant n-1, a_{ij}^{(k)} = 0$恒成立$(i \neq j)$，当且仅当从$v_i$到$v_j$是不可达的。
   • 令$A^k=(a_{ij}^{(n)})_{n \centerdot n}$，则存在$t, s$，使得$a_{ij}^{(n)} \gt 0$和$a_{ji}^{(s)} \gt 0$，当且仅当$G$中有一条包含$v_i$和$v_j$的有向回路。（ 回路的一半长度是$s$，一半长度是$t$ ）