算法题解之容斥原理

        我们有时候在解题的时候，将问题分成几个子问题，然后叠加，但是答案中有重复解，也就是这些子问题相互具有重叠的部分，如果不分成子问题那么无疑会使解题过程变得更加麻烦。这时候容斥原理可以帮助解决这一难题。容斥原理就是先将子集问题的解相加，然后减去重复的解，再加上减的过程中重复减的部分，依次递推。

1.何谓容斥原理

 在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠 部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

        如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。因为当A+B+C之后，相当于把A和B的公共部分加了两次，所以需要减去，同理也将B和C的公共部分加了两次，A和C的公共部分加了两次，所以需要减去。但是在减的过程中多减了ABC的公共部分，所以需要加上，从而得到最终解。

        根据以上推理，将公式推导到一般化，公式如下：

                       

        

2.例题讲解

   2、3、5、7的倍数

                                                                

        题目大致意思是求求1-N中有多少个不是2或3或5或7的倍数。我们可以先解其反命题，即有多少个是2或3或5或7的倍数，最后用N相减即可。

        根据容斥原理：首先，我们先将问题转化为四个子命题，即2的倍数、3的倍数、5的倍数和7的倍数四个子命题，各自的结果就是N/2、N/3、N/5、N/7。但是2的倍数和3的倍数这两个解有重复的部分，那就是减去其两者相乘得到的数的倍数即可，同理其它任意两个数同理；然后加上任意三个乘积的倍数；接着减去四个数乘积的倍数即可。最后再用N减去前面求到的结果。

代码如下：

import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args)
	{
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		int total=(n/2+n/3+n/5+n/7)-(n/6+n/10+n/14+n/15+n/21+n/35)+(n/30+n/42+n/70+n/105)-n/210;
		int ans=n-total;
		System.out.println(ans);
	}

}