[JZOJ5529] 朱老师的难题 【多项式】【生成函数】

Description

有一个n个数的严格递增序列a
定义一组数为序列a的一个非空子集，也就是说这里面的元素不能重复，也没有顺序之分。

一组数$S$的权值为$(-1{)}^{|S|+1}\prod _{i\in S}{a}_i$

你可以选择若干组数（组与组之间有顺序，一个元素可以同时出现在很多组）作为一个选择方案，这个方案的权值是所有选择的组的权值的乘积。

定义函数$f(m)$为所有满足选的总题数为m的方案的权值和。

可以证明（原题这么说的），存在n个数对$(b_i,c_i)$，满足对于任意的m，都有$f(m)=\sum _{i=1}^n{b}_i{c}_i^m$

将$c_i$从小到大排序后，可以证明数对是唯一的
求出这些数对。
$n\le 100000$

Solution

咋一看无从下手…
感觉它是一道多项式题。

考虑用生成函数来解决
设一组数的一般生成函数为$G(x)$， 指数是选的数的数量，系数是权值
令$P(x)=\prod _{i=1}^n(1-a_{i}x)$
容易得到$G(x)=1-P(x)$

令$f(m)$的生成函数为$F(x)$
枚举选多少组，也容易得到$$F(x)=\sum _{i>0}{G}^i(x)=\frac{1}{1-G(x)}=\frac{1}{P(x)}$$

同时又有$$F(x)=\sum _{i\ge 0}f(i)x^i=\sum _{i\ge 0}\sum _{j=1}^n{b}_j{c}_j^i{x}^i$$

交换主体
$$F(x)=\sum _{i\ge 0}f(i)x^i=\sum _{j=1}^n{b}_j\sum _{i\ge 0}{c}_j^i{x}^i=\sum _{j=1}^n\frac{b_j}{1-c_{j}x}$$

通分，有
$$F(x)=\frac{1}{P(x)}=\frac{\sum _{j=1}^n{b}_j\prod _{k̸=j}(1-c_{k}x)}{\prod _k(1-c_{k}x)}$$

此处可以感受一下，序列c和序列a是完全相同的
为什么呢？
这里有个不太靠谱的证明

考虑反证,假设存在$i,a_i̸=c_i$
由于这里的生成函数都是形式幂级数，我们不妨令$x=\frac{1}{a_i}$

那么$P(x)=0$，由于a互不相同，右边分母总是至少有一项是不能与左边分母约掉的，这样就矛盾了
因此$c_i=a_i$

或者我们用构造的思想，令a与c等价，那么我们总是能够构造出一组解

那么移项，就有$$1=\sum _{j=1}^n{b}_j\prod _{k̸=j}(1-a_{k}x)$$

我们想要把某个bj分离出来

令$x=\frac{1}{a_j}$，那么除了$b_j$这一个，其他的全部都是0

就有$$1=b_j\prod _{k̸=j}\left(1-\frac{a_k}{a_j}\right)$$

移项再化式子，可得$$b_j=\frac{1-a_j\ast \frac{1}{a_j}}{P\left(\frac{1}{a_j}\right)}$$

上下都是0，可以用洛必达法则

$$b_j=\underset{x\to \frac{1}{a_j}}{\lim }\frac{1-a_{j}x}{P(x)}=\underset{x\to \frac{1}{a_j}}{\lim }\frac{-a_j}{P^{\prime }(x)}=\frac{-a_j}{P^{\prime }(\frac{1}{a_j})}$$

这样我们只需要求出$P^{\prime }(x)$在每个$\frac{1}{a_j}$的点值，带入计算即可
多项式函数求导直接每一项左移乘上系数
剩下的就是经典的多项式多点求值了
套模板即可…

总的时间复杂度是$O(n{\log }^{2}n)$的

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define M 524288
#define mo 1811939329
#define N 100005
#define LL long long
using namespace std;
LL a[M+1],b[M+1],c[M+1],u1[M+1],wg[M+1],u2[M+1],wi[M+1],r[M+1],q[M+1],cf[20],l2[M+1],ny[M+1],a1[20][M+1],ans[N],s1[20][M+1];
int bit[M+1],n,m,fi[20][N+1],le[20][N+1],lf;
LL ksm(LL k,LL n)
{
	LL s=1;
	for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
	return s;
}
void prp(int num)
{
	fo(i,0,num) wi[i]=wg[i*(M/num)];
	fo(i,0,num-1) bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l2[num]-1));
}
void NTT(LL *a,bool pd,int num)
{
	fo(i,0,num-1) if(i<bit[i]) swap(a[i],a[bit[i]]);
	LL w,v;
	for(int lim=num>>1,m=2,half=1;m<=num;half=m,lim>>=1,m<<=1)
	{
		fo(i,0,half-1)
		{
			w=(!pd)?wi[i*lim]:wi[num-i*lim];
			for(int j=i;j<num;j+=m)
			{
				v=w*a[j+half]%mo;
				a[j+half]=(a[j]-v+mo)%mo;
				a[j]=(a[j]+v)%mo;
			}
		}
	}
	if(pd) fo(i,0,num-1) a[i]=a[i]*ny[num]%mo;
}
void make(int l,LL *a,LL *b)
{
	b[0]=ksm(a[0],mo-2);
	for(int m=1,t=2,num=4;m<=l;m=t,t=num,num<<=1)
	{
		prp(num);
		fo(i,0,m-1) c[i]=a[i],u2[i]=b[i];
		fo(i,m,t-1) c[i]=a[i],u2[i]=b[i]=0;
		fo(i,t,num-1) c[i]=u2[i]=b[i]=0;
		NTT(c,0,num),NTT(b,0,num);
		fo(i,0,num-1) b[i]=b[i]*b[i]%mo*c[i]%mo;
		NTT(b,1,num);
		fo(i,0,t-1) b[i]=((LL)2*u2[i]-b[i]+mo)%mo;
		fo(i,t,num-1) b[i]=0;
	}
}
void rev(int num,LL *a,LL *b)
{
	fo(i,0,num-1) b[i]=a[num-i-1];
}
void div(int n,int m,LL *a,LL *b,LL *d,LL *r)
{
	rev(m,b,r);
	fo(i,m,n-m+1) r[i]=0;
	make(n-m+1,r,d);
	int num=cf[l2[n]]*2;
	prp(num),rev(n,a,u2);
	fo(i,n-m+1,num-1) d[i]=u2[i]=0;
	
	NTT(d,0,num),NTT(u2,0,num);
	fo(i,0,num-1) d[i]=d[i]*u2[i]%mo;
	NTT(d,1,num);
	fo(i,n-m+1,num-1) d[i]=0;
	fo(i,0,(n-m)>>1) swap(d[i],d[n-m-i]);

	num=cf[l2[n]],prp(num);
	fo(i,0,m-1) r[i]=d[i],u2[i]=b[i];
	fo(i,m,num-1) r[i]=d[i],u2[i]=0;
	NTT(r,0,num),NTT(u2,0,num);
	fo(i,0,num-1) r[i]=r[i]*u2[i]%mo;
	NTT(r,1,num);
	fo(i,0,m-1) r[i]=(a[i]-r[i]+mo)%mo;
	fo(i,m,num-1) r[i]=0;
}
void prd(int t,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		fi[t][l]=lf+1;
		le[t][l]=2;
		a1[t][fi[t][l]+1]=-a[l],a1[t][fi[t][l]]=1;
		lf+=2;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	prd(t+1,l,mid),prd(t+1,mid+1,r);
}
void prd1(int t,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		fi[t][l]=lf+1;
		le[t][l]=2;
		a1[t][fi[t][l]]=mo-ksm(a[l],mo-2),a1[t][fi[t][l]+1]=1;
		lf+=2;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	prd1(t+1,l,mid),prd1(t+1,mid+1,r);
}
void doit(int t,int l,int r)
{
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	doit(t+1,l,mid),doit(t+1,mid+1,r);
	fi[t][l]=fi[t+1][l];
	int num=cf[l2[le[t+1][l]+le[t+1][mid+1]-1]];
	prp(num);
	fo(i,0,num-1)
	{
		u1[i]=(i<le[t+1][l])?a1[t+1][fi[t+1][l]+i]:0;
		u2[i]=(i<le[t+1][mid+1])?a1[t+1][fi[t+1][mid+1]+i]:0;
	}
	NTT(u1,0,num),NTT(u2,0,num);
	fo(i,0,num-1) u1[i]=u1[i]*u2[i]%mo;
	NTT(u1,1,num);
	le[t][l]=le[t+1][l]+le[t+1][mid+1]-1;
	fo(i,0,le[t][l]) a1[t][fi[t][l]+i]=u1[i];
}
void query(int t,int l,int r,int n)
{
	if(l==r) ans[l]=s1[t][0];
	else
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		div(n,le[t+1][l],s1[t],a1[t+1]+fi[t+1][l],q,s1[t+1]);
		query(t+1,l,mid,le[t+1][l]-1);
		div(n,le[t+1][mid+1],s1[t],a1[t+1]+fi[t+1][mid+1],q,s1[t+1]);
		query(t+1,mid+1,r,le[t+1][mid+1]-1);
	}
}
int main()
{
	cf[0]=1;
	fo(i,1,19) cf[i]=cf[i-1]<<1,l2[cf[i]]=i;
	fod(i,M-1,1) if(!l2[i]) l2[i]=l2[i+1];
	ny[1]=1;
	fo(i,2,M) ny[i]=(-ny[mo%i]*(LL)(mo/i)%mo+mo)%mo;
	wg[0]=1;
	LL c=ksm(13,(mo-1)/M);
	fo(i,1,M) wg[i]=wg[i-1]*c%mo;
	cin>>n;
	fo(i,0,n-1) scanf("%lld",&a[i]);
	prd(0,0,n-1);
	doit(0,0,n-1);
	fo(i,fi[0][0],fi[0][0]+le[0][0]-2) s1[0][i-fi[0][0]]=a1[0][i+1]*(LL)(i-fi[0][0]+1)%mo; 
	memset(fi,0,sizeof(fi));
	memset(le,0,sizeof(le));
	memset(a1,0,sizeof(a1));
	lf=0;
	prd1(0,0,n-1);
	doit(0,0,n-1);
	query(0,0,n-1,le[0][0]-1);
	fo(i,0,n-1) printf("%lld %lld\n",(-a[i]*ksm(ans[i],mo-2)%mo+mo)%mo,a[i]);
}