容斥原理的公式推导

对于容斥原理的最简单的理解就是，把要计算的加上，然后把加多的减掉，然后再把减多的再加回去。这样循环下去就对了。

一个好理解的例子就是一个班上有三个兴趣班（c++，java，pasico），每个人都报了兴趣班。30人报了一个，12人报了两个，3人报了三个，求班上有多少人？这是一道小学题，自然也很简单。ans=30-12+3=21（人）。然后这样为什么是对的呢？我们思考一下30之中把报了两项的人计算了2次，把报了三项的人计算了3次。12中把报了3项的人计算了3次。所以我们用那个加减表示每种人都只计算1次的答案。（可以看图再理解一下）

但是并没有那么简单，因为不可能每道题的系数都是-1和1的交替。要解决更一般性的问题，我们可能要自己推系数，我们重点讲一下推系数的方法。

一般的，由总结的公式得出 ∑ni=1s(Ci)fi=s(C0) ∑ i = 1 n s ( C i ) f i = s ( C 0 ) ,其中 s(Ci) s ( C i ) 表示所有物品在满足 Ci C i 情况下的总贡献（一般的计数问题 s(Ci) s ( C i ) 就是 满足条件 Ci C i 情况的个数）,而 fi f i 是一个系数，在计算时，我们才能把除答案以外的的贡献消掉。（这是用于计算答案的式子）要对这个公式有一个理解，我们还是举两个例子。

一、（错排问题），一串 1−n 1 − n 的数列，求对于任意 i i 不在第 i i 位排列的方案数。

对于这个问题，首先我们要构造 Ci C i ，当然这是很简单的，我们很容易就可以想到： Ci C i 表示满足有至少 i i 个不错排数的情况。所以有： ∑ni=0Cin∗fi==[n==0] ∑ i = 0 n C n i ∗ f i == [ n == 0 ] 。反正第一次看人家推这个式子是懵逼的，为啥 s(Ci) s ( C i ) 变成一个组合数了呢？其实仔细推敲一下还是可以理解的。首先，上面的式子和下面是有区别的。也就是说，这俩货都不是一个东西。这个式子是用来计算 fi f i 的！！！

现在大概能懂了吧，假设有一个恰好有 n n 个不错排数的情况，它在 i=0 i = 0 时被计算了 C0n C n 0 次，在 i=1 i = 1 时被计算了 C1n C n 1 次，以此类推……因为我们要求的的是错排数列，所以当 n≠0 n ≠ 0 时是不符合题意的，我们要让它的贡献为0（另：只有 n=0 n = 0 时，这个排列的贡献为1）。然后可以想到一个 n2 n 2 递推 fi f i 的方法。当然这类 fi f i 是有规律的，我们打表可知： fi=(−1)i f i = ( − 1 ) i 。

至此我们把 fi f i 全部计算出来了，之后我们怎么计算答案呢？这个时候我们就可以使用上面一个公式了。 ans=∑ni=1Cin∗(n−i)!∗fi a n s = ∑ i = 1 n C n i ∗ ( n − i ) ! ∗ f i 。

是不是很神奇呢？

二、（约数问题），给定 m m 个数，统计在 [1,n] [ 1 , n ] 中，有奇数个整除它的数的个数。( i i 属于 [1,n] [ 1 , n ] ，若在这 m m 个数里，有奇数个数可以整除 i i ，则 ans a n s ++)， m≤15 m ≤ 15 ， n≤1e9 n ≤ 1 e 9 。

枚举 n n 的复杂度是 n∗m n ∗ m 的，显然会超时，考虑容斥。

枚举 m m 的子集，求 lcm l c m ，有了第一题的经验，我们写出式子： ∑ki=0Cin∗fi=[k%2==1] ∑ i = 0 k C n i ∗ f i = [ k % 2 == 1 ] ，(奇数时贡献为1)。对于一个约数恰好为 k k 个的数，它在计算至少0个约数的时候计算了 C0k C k 0 次，在计算至少1个约数时计算了 C1k C k 1 次，以此类推……

怎么计算答案呢？ ans=∑(s∈m)nlcm(s)∗f|s| a n s = ∑ ( s ∈ m ) n l c m ( s ) ∗ f | s | 。

其实看懂了也很简单，一般求 fi f i 的式子含组合数，当然也有可能是一些奇奇怪怪的东西，比如斯特林数什么的。