【NOIP2009】靶形数独 题解

【题目名称】靶形数独

【题目来源】NOIP2009

【时间限制】2000ms

【空间限制】128M

问题描述

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向Z博士请教，Z博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。
　　靶形数独的方格同普通数独一样，在9格宽×9格高的大九宫格中有9个3格宽×3格高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入1到9的数字。每个数字在每个小九宫格内不能重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

　　上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为10分，黄色区域外面的一圈（红色区域）每个格子为9分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为8分，蓝色区域外面一圈（棕色区域）每个格子为7分，最外面一圈（白色区域）每个格子为6分，如上图所示。比赛的要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独有可能有不同的填法），而且要争取更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字的乘积的总和。如图，在以下这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分为2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

　　由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能够得到的最高分数。

输入格式

输入文件名为sudoku.in。
　　　一共9行，每行9个整数（每个数都在0—9的范围内），表示一个尚未填满的数独方格，未填满的空格用“0”表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式

输出文件sudoku.out共1行。
　　输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1。

样例输入

【输入样例1】
7 0 0 9 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 5 9 0 0
0 0 0 2 0 0 0 8 0
0 0 5 0 2 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 6 4 8
4 1 3 0 0 0 0 0 0
0 0 7 0 0 2 0 9 0
2 0 1 0 6 0 8 0 4
0 8 0 5 0 4 0 1 2

【输入样例2】
0 0 0 7 0 2 4 5 3
9 0 0 0 0 8 0 0 0
7 4 0 0 0 5 0 1 0
1 9 5 0 8 0 0 0 0
0 7 0 0 0 0 0 2 5
0 3 0 5 7 9 1 0 8
0 0 0 6 0 1 0 0 0
0 6 0 9 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 6

样例输出

【输出样例1】
2829
【输出样例2】
2852

提示

【数据范围】
40%的数据，数独中非0数的个数不少于30。
80%的数据，数独中非0数的个数不少于26。
100%的数据，数独中非0数的个数不少于24。

【题解】

虽然有大神告诉我，处理数独问题用跳舞链很快，不过，我的确不会这些高深的算法。其实采取深度优先搜索就可以了。然而也不能太过于暴力，我们多少要加一点优化。实际上，我的解法是属于启发式搜索。

回忆一下，当我们用人脑解数独时，我们用的什么策略？排除法！我们先会排除掉不可能的数。并且我们总是会从可行解较少的格子开始填数，这样会大大减少枚举次数。于是这就是启发式搜索的根据了。我们依照剩余可行解的数量来确定搜索的顺序，可行解越少的格子，越优先讨论。当然我们可以估计剩余格子的最高得分，如果这个分数加上当前得分仍不超过已知最优解，则可以直接return，因为得出的解不可能再是最优解了。

思路很简单粗暴，但代码并不好写，下面给出我的代码。

【参考代码】

#include
#include
#define inf 0x3fffffff
int A[10][10],ANS=0;//A记录数阵，ANS记录最终答案
int Area(int x,int y)
{
	return	(x-1)/3*3+(y+2)/3;
}//确定(x,y)所在的小九宫格
int minn(int a,int b)
{
	return ab?a:b;
}
int Abs(int x)
{
	return x>0?x:-x;
}
int Score(int x,int y)
{
	 return 10-maxn(Abs(x-5),Abs(y-5));
}//计算(x,y)的分数
bool H[10][10],L[10][10],AREA[10][10];//H--行，L--列,AREA--小九宫格；H[i][j]=1,表示第i行能够填入数字j,其余以此类推
void Read_in()
{
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		for(int j=1;j<=9;j++)
		{
			scanf("%d",&A[i][j]);
			ANS+=A[i][j]*Score(i,j);
		}
	}
	return ;
}//读入，计分
bool WUJIE=0;
void init()
{
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		for(int j=1;j<=9;j++)
		{
			H[i][j]=L[i][j]=AREA[i][j]=true;
		}
	}
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		for(int j=1;j<=9;j++)
		{
			if(A[i][j])
			{
				if(H[i][A[i][j]]&&L[j][A[i][j]]&&AREA[Area(i,j)][A[i][j]])
				{
					H[i][A[i][j]]=L[j][A[i][j]]=AREA[Area(i,j)][A[i][j]]=false;
				}
				else
				{
					WUJIE=1;//如果读入的数已经自相矛盾可直接判无解.这种情况下,不特判容易超时.
					return ;
				}
			}
		}
	}
	return ;
}//初始化
bool F=0;
void dfs(int marks)
{
	int _min=inf,px=0,py=0,CNT,goal=0,K;
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		for(int j=1;j<=9;j++)
		{
			if(!A[i][j])
			{
				CNT=0;
				K=0;
				for(int k=1;k<=9;k++)
				{
					if(H[i][k]&&L[j][k]&&AREA[Area(i,j)][k])
					{
						CNT++;
						K=k;
					}
				}
				goal+=K*Score(i,j);//估计最高得分.
				if(CNT<_min)
				{
					_min=CNT;
					px=i;
					py=j;
				}
			}
		}
	}
	if(goal+marks<=ANS)
	{
		return ;
	}
	if(goal==0)
	{
		F=true;
		ANS=maxn(ANS,marks);
		return ;
	}
	if(CNT==0)
	{
		return ;
	}
	int _area=Area(px,py),Scr=Score(px,py);
	for(int i=1;i<=9;i++)
	{
		if(H[px][i]&&L[py][i]&&AREA[_area][i])
		{
			H[px][i]=L[py][i]=AREA[_area][i]=false;
			A[px][py]=i;
			dfs(marks+i*Scr);
			A[px][py]=0;
			H[px][i]=L[py][i]=AREA[_area][i]=true;//还原现场.
		}
	}
	return ;
}	
int main()
{
	Read_in();
	init();
	if(WUJIE)
	{
		printf("-1");
		return 0;
	}
	dfs(ANS);
	if(F)
	{
		printf("%d",ANS);
	}
	else
	{
		printf("-1");
	}
	return 0;
}