【概率DP】Gym - 102470 - D - Darts

题目链接http://codeforces.com/gym/102470/problem/D

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D - Darts

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题意

$A$ 和 $B$ 两个人比赛射飞镖，规则如下：

两个人轮流射飞镖，初始分数都为$N$，假设射中区域 $x$，如果 $x\le N$，分数减去 $x$；否则分数保持不变。第一个把分数清零的玩家获胜。

$A$ 每次随便射飞镖，所以他射到每个区域的概率都相等。

$B$ 有策略地射飞镖，他能够保证落到三块连续的区域内，且三块之间的概率相等。

假设初始值都为 $N$，问 $A$ 先手获胜的概率和 $B$ 先手获胜的概率。

$1\le N\le 501$

标靶权值为：20,1,18,4,13,6,10,15,2,17,3,19,7,16,8,11,14,9,12,5。（包含1~20所有的数字）

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解析

如果 $N$ 小于等于20，对于 $A$ 和 $B$ 来说，每次射飞镖只有两种状态：射中的值刚好为当前分数 $N$，或者没射中。就算射中一个分数小于 $N$ 的，对于这个状态来说没有改变。所以此时 $B$ 的策略肯定要瞄准 $N$ 去射。

$dp1[i][j]$和 $dp2[i][j]$ 分别表示 $A$ 的分数为 $i$ ，$B$的分数为 $j$ ，$A$ 先手和 $B$ 先手的答案。如果 $i$ 和 $j$ 都小于等于 $20$， 它们的值都是固定的。刚好样例也给出了答案，直接抄过来就行。

其他情况下的转移方程如下：

• $A$ 先手，射到权值为 $x$ 的概率是 $\frac{1}{20}$。因为换人了所以因该是由 $dp2[i-x][j]$ 转移过来，又因为 $dp2$ 表示 $B$ 获胜的概率，所以要用 $1$ 减去它：

$$dp1[i][j]+=(1-dp2[getv(i,x)][j])/20;$$

• $B$ 先手，分别射三个区域 $x,y,z$，转移方程如下：

$$dp2[i][j]=max(dp2[i][j],(1-dp1[i][getv(j,x)]+1-dp1[i][getv(j,y)]+1-dp1[i][getv(j,z)])/3);$$

其中 $getv()$ 函数就是判断能不能减去 $x$，具体代码如下：

int getv(int x,int y){
    if(y<=x) return x-y;
    return x;
}

注意到 $dp1[i][j]$ 可能会从 $dp2[i][j]$ 转移过来，同样 $dp2[i][j]$ 可能会从 $dp1[i][j]$ 转移过来，观察一下就可以发现分类讨论一下即可：

如果 $i$ 和 $j$ 都小于等于 $20$，答案前面说了是固定的值。

如果 $i$ 小于等于 $20$，那么 $j$ 必然大于 $20$，也就是说此时 $dp2[i][j]$ 不会从 $dp1[i][j]$ 转移过来，只要先转移 $dp2$ 即可。反之亦然。

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#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N=502;
const db inf=1e12;
const db eps=1e-7;
db dp1[N][N],dp2[N][N];
int val[20]={20,1,18,4,13,6,10,15,2,17,3,19,7,16,8,11,14,9,12,5};
int getv(int x,int y){
    if(y<=x) return x-y;
    return x;
}
int main(){
    for(int i=1;i<=20;i++){
        for(int j=1;j<=20;j++){
            dp1[i][j]=0.136363636364;
            dp2[i][j]=0.909090909091;
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++){
        for(int j=1;j<N;j++){
            if(i<=20&&j<=20) continue;

                if(i<=20){
                    for(int x=0;x<20;x++){
                        int y=(x+1)%20,z=(x+2)%20;
                        dp2[i][j]=max(dp2[i][j],(1.0-dp1[i][getv(j,val[x])]+1.0-dp1[i][getv(j,val[y])]+1.0-dp1[i][getv(j,val[z])])/3.0);

                    }
                    for(int x=0;x<20;x++){
                        int y=(x+1)%20,z=(x+2)%20;
                        dp1[i][j]+=(1.0-dp2[getv(i,val[x])][j])/20.0;
                    }

                }
                else{
                    for(int x=0;x<20;x++){
                        int y=(x+1)%20,z=(x+2)%20;
                        dp1[i][j]+=(1.0-dp2[getv(i,val[x])][j])/20.0;
                    }
                    for(int x=0;x<20;x++){
                        int y=(x+1)%20,z=(x+2)%20;
                        dp2[i][j]=max(dp2[i][j],(1.0-dp1[i][getv(j,val[x])]+1.0-dp1[i][getv(j,val[y])]+1.0-dp1[i][getv(j,val[z])])/3.0);

                    }
                }
        }
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)){
        if(n==0) break;
        printf("%.10f %.10f\n",dp1[n][n],dp2[n][n]);
    }
}