2018第九届蓝桥杯B组决赛题解第五题 搭积木

标题：搭积木


小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。
在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。
随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则：


规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；
规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；
规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。


其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.’或‘X’，其中‘X’表示这个位置是小明不喜欢的。
现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。
由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。
注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。


【输入格式】
输入数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。
随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.’或‘X’。


【输出格式】
输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。


【样例输入1】
2 3
..X
.X.


【样例输出1】
4


【样例说明1】
成功的摆放有（其中O表示放置积木）：
(1)
..X
.X.
(2)
..X
OX.
(3)
O.X
OX.
(4)
..X
.XO


【样例输入2】
3 3
..X
.X.
...


【样例输出2】
16


【数据规模约定】
对于10%的数据，n=1，m<=30；
对于40%的数据，n<=10，m<=30；
对于100%的数据，n<=100，m<=100。




资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 1000ms

此处可以交题~https://qduoj.com/problem/295

思路：本题应该是dp题，当时到最后一个小时才慢慢想清本题到底考什么模型. 

我们清楚每一层都有一个可行的最大高度，他说每一层必须连续也就是说我们取的l到r区间的高度不能有高度先下降后上升的情况，也就是我们可以枚举每一个合法不含X的l,r区间，然后对于区间内的第i个柱子，高度从1开始枚举，搜索所有情况。

当然直接搜索复杂度是很高的 ，但是我们发现对于第i个高度取h，并且后面可以上升还是只能下降也是确定的，那么后面的情况数我们是可以记忆化来做的。

下面是我的代码，100×100的图400ms左右

代码：

#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+5;
const double esp = 1e-12;
const int ff = 0x3f3f3f3f;
map::iterator it;

int n,m,l,r;
int h[233];
ll dp[2][133][133];
char mp[233][233];

void get_height()//得到每一列的高度 
{
	for(int i = 1;i<= m;i++)
	{
		int hi = 0;
		for(int j = n;j>= 1;j--)
		{
			if(mp[j][i] == 'X') break;
			hi++;
		}
		h[i] = hi;
	}
	
	return ;
}

ll dfs(int pos,int sta,int last)
{
	if(pos> r) return 1;
	if(dp[sta][pos][last]!= -1)
		return dp[sta][pos][last];
	
	ll sum = 0;
	for(int i = 1;i<= h[pos];i++)
	{ 
		if(i> last) 
		{
			if(sta == 1)//可以上升的话
				sum = (sum+dfs(pos+1,1,i))%mod; 
		}
		else
		{
			if(i == last)//跟上一个所取高度相同 
				sum = (sum+dfs(pos+1,sta,i))%mod;
			else
				sum = (sum+dfs(pos+1,0,i))%mod;//后面不可以再上升 
		}
	}
	
	return dp[sta][pos][last] = sum;
}

int main()
{
	//freopen("1.in","r",stdin);
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i = 1;i<= n;i++)
		for(int j = 1;j<= m;j++)
			scanf(" %c",&mp[i][j]);
	
	get_height();
	
	ll ans = 0;
	int i = 1;
	while(i<= m)
	{
		if(mp[n][i] == 'X')
		{
			i++;
			continue;
		}
		int j = i;
		while(j<= m&&mp[n][j] == '.')
		{
			j++;
			continue;
		}
		j--;
		//i，j为不含X的区间 
		for(r = j;r>= i;r--)//把r固定调整l，这样搜过的还能继续用，节省时间 
		{
			mem(dp,-1);
			for(l = r;l>= i;l--)
			{
				ans = (ans+dfs(l,1,1))%mod;
			}
		}
		i = j+1;//更新i 
	}
	
	printf("%lld\n",(ans+1)%mod);
	
	return 0;
}