核支持向量机，python实现

参考用书：python机器学习基础教程     [德]Andreas C.Muller  [美]Sarah Guido 著          张亮  译

 支持向量机可以同时用于分类和回归，但这篇文章只介绍用于分类的情况，它在 SVC 中实现。类似的概念也适用于支持向量回归，后者在 SVR 中实现。

线性模型在低维空间中可能非常受限，因为线和平面的灵活性有限。有一种方法可以让线性模型更加灵活，就是添加更多的特征——举个例子，添加输入特征的交互项或多项式。用于分类的线性模型只能用一条直线来划分数据点，对这个数据集无法给出较好的结果（图一）。

图一  线性 SVM 给出的决策边界

现在我们对输入特征进行扩展，比如说添加第二个特征的平方（feature1 ** 2）作为一个新特征。现在我们将每个数据点表示为三维点 (feature0, feature1, feature1 ** 2)，而不是二维点 (feature0, feature1)11。这个新的表示可以画成图 二 中的三维散点图。

图二  对图 一 中的数据集进行扩展，新增由 feature1 导出的的第三个特征

在数据的新表示中，现在可以用线性模型（三维空间中的平面）将这两个类别分开。我们可以用线性模型拟合扩展后的数据来验证这一点（见图 三）：

图三   线性 SVM 对扩展后的三维数据集给出的决策边界​​​​​

 如果将线性 SVM 模型看作原始特征的函数，那么它实际上已经不是线性的了。它不是一条直线，而是一个椭圆，你可以在下图中看出（图 四）

图四   将图 三给出的决策边界作为两个原始特征的函数

向数据表示中添加非线性特征，可以让线性模型变得更强大。但是并不知道要添加哪些特征，而且添加许多特征（比如 100 维特征空间所有可能的交互项）的计算开销可能会很大。幸运的是，有一种巧妙的数学技巧，让我们可以在更高维空间中学习分类器，而不用实际计算可能非常大的新的数据表示。这种技巧叫作核技巧（kernel trick），它的原理是直接计算扩展特征表示中数据点之间的距离（更准确地说是内积），而不用实际对扩展进行计算。

在训练过程中，SVM 学习每个训练数据点对于表示两个类别之间的决策边界的重要性。通常只有一部分训练数据点对于定义决策边界来说很重要：位于类别之间边界上的那些点这些点叫作支持向量（support vector），支持向量机正是由此得名。

想要对新样本点进行预测，需要测量它与每个支持向量之间的距离。分类决策是基于它与支持向量之间的距离以及在训练过程中学到的支持向量重要性（保存在 SVC 的 dual_coef_属性中）来做出的。

数据点之间的距离由高斯核给出：
                                                                   krbf (x1, x2) = exp (-γ‖x1 - x2‖2)
 
这里 x1 和 x2 是数据点，‖x1 - x2‖ 表示欧氏距离，γ（gamma）是控制高斯核宽度的参数。

gamma 参数是上一节给出的公式中的参数，用于控制高斯核的宽度。它决定了点与点之间“靠近”是指多大的距离。C 参数是正则化参数，与线性模型中用到的类似。它限制每个点的重要性（或者更确切地说，每个点的 dual_coef_）。

图五

图五从左到右，我们将参数 gamma 的值从 0.1 增加到 10。gamma 较小，说明高斯核的半径较大许多点都被看作比较靠近。这一点可以在图中看出：左侧的图决策边界非常平滑，越向右的图决策边界更关注单个点。小的 gamma 值表示决策边界变化很慢，生成的是复杂度较低的模型，而大的 gamma 值则会生成更为复杂的模型。从上到下，我们将参数 C 的值从 0.1 增加到 1000。与线性模型相同，C 值很小，说明模型非常受限，每个数据点的影响范围都有限。你可以看到，左上角的图中，决策边界看起来几乎是线性的，误分类的点对边界几乎没有任何影响。再看左下角的图，增大 C 之后这些点对模型的影响变大，使得决策边界发生弯曲来将这些点正确分类。

这个模型在训练集上的分数十分完美，但在测试集上的精度只有 63%，存在相当严重的过拟合。虽然 SVM 的表现通常都很好，但它对参数的设定和数据的缩放非常敏感。特别地，它要求所有特征有相似的变化范围。我们来看一下每个特征的最小值和最大值，它们绘制在对数坐标上

解决这个问题的一种方法就是对每个特征进行缩放，使其大致都位于同一范围。核 SVM常用的缩放方法就是将所有特征缩放到 0 和 1 之间。数据缩放的作用很大！实际上模型现在处于欠拟合的状态，因为训练集和测试集的性能非常接近，但还没有接近 100% 的精度。从这里开始，我们可以尝试增大 C 或 gamma 来拟合更为复杂的模型。

 优点、缺点和参数

SVM 允许决策边界很复杂，即使数据只有几个特征。它在低维数据和高维数据（即很少特征和很多特征）上的表现都很好，但对样本个数的缩放表现不好。在有多达 10 000 个样本的数据上运行 SVM可能表现良好，但如果数据量达到 100 000 甚至更大，在运行时间和内存使用方面可能会面临挑战。
SVM 的另一个缺点是，预处理数据和调参都需要非常小心。这也是为什么如今很多应用中用的都是基于树的模型，比如随机森或梯度提升（需要很少的预处理，甚至不需要预处理）。此外，SVM 模型很难检查，可能很难理解为什么会这么预测，而且也难以将模型向非专家进行解释。
核 SVM 的重要参数是正则化参数 C、核的选择以及与核相关的参数。虽然我们主要讲的是RBF 核，但 scikit-learn 中还有其他选择。RBF 核只有一个参数 gamma，它是高斯核宽度的倒数。gamma 和 C 控制的都是模型复杂度，较大的值都对应更为复杂的模型。因此，这两个参数的设定通常是强烈相关的，应该同时调节。

代码如下，注意使用版本和环境，我在可视化时需要把前面的注释再RUN，可能大家不一样，不过代码都可以运行，已跑过，如有问题可留言或参考原书。

 

 

#python3.6 pycharm
import matplotlib
matplotlib.use('TkAgg')
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
import mglearn

from sklearn.datasets import load_breast_cancer
cancer = load_breast_cancer()
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.svm import SVC

X, y = make_blobs(centers=4, random_state=8)
y = y % 2
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
from sklearn.svm import LinearSVC
linear_svm = LinearSVC().fit(X, y)
mglearn.plots.plot_2d_separator(linear_svm, X)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
X_new = np.hstack([X, X[:, 1:] ** 2])
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D, axes3d
figure = plt.figure()
# 3D可视化
ax = Axes3D(figure, elev=-152, azim=-26)
# 首先画出所有y == 0的点，然后画出所有y == 1的点
mask = y == 0
ax.scatter(X_new[mask, 0], X_new[mask, 1], X_new[mask, 2], c='b',
 cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.scatter(X_new[~mask, 0], X_new[~mask, 1], X_new[~mask, 2], c='r', marker='^',
 cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.set_xlabel("feature0")
ax.set_ylabel("feature1")
ax.set_zlabel("feature1 ** 2")
linear_svm_3d = LinearSVC().fit(X_new, y)
coef, intercept = linear_svm_3d.coef_.ravel(), linear_svm_3d.intercept_
# 显示线性决策边界
figure = plt.figure()
ax = Axes3D(figure, elev=-152, azim=-26)
xx = np.linspace(X_new[:, 0].min() - 2, X_new[:, 0].max() + 2, 50)
yy = np.linspace(X_new[:, 1].min() - 2, X_new[:, 1].max() + 2, 50)
XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)
ZZ = (coef[0] * XX + coef[1] * YY + intercept) / -coef[2]
ax.plot_surface(XX, YY, ZZ, rstride=8, cstride=8, alpha=0.3)
ax.scatter(X_new[mask, 0], X_new[mask, 1], X_new[mask, 2], c='b',
 cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.scatter(X_new[~mask, 0], X_new[~mask, 1], X_new[~mask, 2], c='r', marker='^',
 cmap=mglearn.cm2, s=60)
ax.set_xlabel("feature0")
ax.set_ylabel("feature1")
ax.set_zlabel("feature1 ** 2")
ZZ = YY ** 2
dec = linear_svm_3d.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel(), ZZ.ravel()])
plt.contourf(XX, YY, dec.reshape(XX.shape), levels=[dec.min(), 0, dec.max()],
 cmap=mglearn.cm2, alpha=0.5)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
from sklearn.svm import SVC
X, y = mglearn.tools.make_handcrafted_dataset()
svm = SVC(kernel='rbf', C=10, gamma=0.1).fit(X, y)
mglearn.plots.plot_2d_separator(svm, X, eps=.5)
mglearn.discrete_scatter(X[:, 0], X[:, 1], y)
# 画出支持向量
sv = svm.support_vectors_
# 支持向量的类别标签由dual_coef_的正负号给出
sv_labels = svm.dual_coef_.ravel() > 0
mglearn.discrete_scatter(sv[:, 0], sv[:, 1], sv_labels, s=15, markeredgewidth=3)
plt.xlabel("Feature 0")
plt.ylabel("Feature 1")
fig, axes = plt.subplots(3, 3, figsize=(15, 10))
for ax, C in zip(axes, [-1, 0, 3]):
 for a, gamma in zip(ax, range(-1, 2)):
    mglearn.plots.plot_svm(log_C=C, log_gamma=gamma, ax=a)
axes[0, 0].legend(["class 0", "class 1", "sv class 0", "sv class 1"],
 ncol=4, loc=(.9, 1.2))

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
 cancer.data, cancer.target, random_state=0)
svc = SVC()
svc.fit(X_train, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.2f}".format(svc.score(X_train, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.2f}".format(svc.score(X_test, y_test)))
plt.plot(X_train.min(axis=0), 'o', label="min")
plt.plot(X_train.max(axis=0), '^', label="max")
plt.legend(loc=4)
plt.xlabel("Feature index")
plt.ylabel("Feature magnitude")
plt.yscale("log")
# 计算训练集中每个特征的最小值
min_on_training = X_train.min(axis=0)
# 计算训练集中每个特征的范围（最大值-最小值）
range_on_training = (X_train - min_on_training).max(axis=0)
# 减去最小值，然后除以范围
# 这样每个特征都是min=0和max=1
X_train_scaled = (X_train - min_on_training) / range_on_training
print("Minimum for each feature\n{}".format(X_train_scaled.min(axis=0)))
print("Maximum for each feature\n {}".format(X_train_scaled.max(axis=0)))
# 利用训练集的最小值和范围对测试集做相同的变换（详见第3章）
X_test_scaled = (X_test - min_on_training) / range_on_training
svc = SVC()
svc.fit(X_train_scaled, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.3f}".format(
 svc.score(X_train_scaled, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.3f}".format(svc.score(X_test_scaled, y_test)))
svc = SVC(C=1000)
svc.fit(X_train_scaled, y_train)
print("Accuracy on training set: {:.3f}".format(
 svc.score(X_train_scaled, y_train)))
print("Accuracy on test set: {:.3f}".format(svc.score(X_test_scaled, y_test)))
plt.show()