[c++]gcd(数论)

自己的一个小结

题目描述

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对（x,y）有多少对？

输入

一个整数
1<=N<=1000000

输出

一个整数

样例输入

4

样例输出

4

提示

【样例解释】
(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

思路

（本文所有的P，均表示质数）
对于x,y 1 <= x,y <= n，且gcd(x,y) = P
由此，我们很容易相当欧拉筛法（Euler）

$\phi$：是小于n的正整数中与n互质的数的数目（$\phi$(1) $=$ $1$）

注明：源自百度
我们假设gcd($x$,$y$) $=$ $1$,则一定有 gcd($x$ $\times$ P,$y$ $\times$ P) $=$ P
我们不妨设 $x$ <= $y$，则我们可以得出 $1$ <= $x$ <= $y$ <= $\frac{n}{P}$
所以我们可以先花（ $O（n）$）的时间算出$\phi$
然后我们只需要将 1 至 （$\frac{n}{P}$）以内的所有$\phi$值乘二减一后加起来即可，(这些数同时乘以P后，不就是gcd($x$ $\times$ P,$y$ $\times$ P) $=$ P了吗)
数学表达:${\sum }_{i=1}^{tot}{\sum }_{j=1}^{\frac{n}{P[i]}}($ans+=$\phi$(j) $\times$ 2) - $1$
乘二是因为我们假设的是 $x$ <= $y$ 的情况，然而实际上，将$x$,$y$的值对调又可以对答案做出贡献，可是我们还需要减去一个一，这是因为（1 $\times$ P,1 $\times$ P）= P显然只有一组，所以我们需要减去一个一
总而言之，这里可用前缀和思想，但是好像空间过不去……

看看代码有利于理解

#include
#define LL long long
#define reg register
#define M 10000000
 
int n,tot;
 
LL ans;
int phi[M + 5],prime[M + 5];
bool vis[M + 5];
 
void Euler(int N){
    phi[1] = 1;
    for (reg int i = 2;i <= N; ++ i){
        if ( ! vis[i]){
            prime[ ++ tot] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (reg int j = 1;j <= tot; ++ j){
            if (prime[j] * i > N)
                break;
            vis[prime[j] * i] = true;
            if (i % prime[j] == 0){
                phi[i * prime[j]] = prime[j] * phi[i];
                break;
            } else
                phi[i * prime[j]] = (prime[j] - 1) * phi[i];
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    Euler(n);
    for (reg int i = 1;i <= tot; ++ i){
        int g = n / prime[i];
        LL sum = 0;
        for (reg int j = 1;j <= g; ++ j)
            sum += 1ll * phi[j];
        ans += (sum * 2 - 1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}