树状数组的修改与查询总结

      研究了很长时间的树状数组，下面来做一个自己的总结。(如果以下见解有什么问题，欢迎指出)

      树状数组是真的很有意思，根据我现在的理解，如果普普通通的不做任何东西，那么他的单点修改适用于区间查询，他的区间修改，适用于单点查询。

如果想要区间修改区间查询，就得费一点功夫了。

一 ：单点修改，区间查询

       这是树状数组一个比较常规的用法，不再详细解释。

      

int low_bit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int i,int c)
{
    while(i<=n)   //n是一共有多少点
    {
	a[i]+=c;
	i+=low_bit(i);
    } 
}
int q(int i)
{
    int ans=0;
    while(i>0)
    {
	ans+=a[i];
	i-=low_bit(i);
    }	
    return ans;   
} 
int main()
{
    add(i,c);   //  i是对那个点增加   c 是要增加的多少   
    //若查询  l--r  区间的和
    ans=q(r)-q(l-1);
}

二 ：单点修改，单点查询

这问题挺傻逼的，这东西直接用数组就行了，没必要再用树状数组了。

三 ：区间修改，单点查询

       这也是树状数组一个比较常规的用法，不再详细解释

      

int low_bit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int i,int c)
{
    while(i<=n)  //n是一共有多少点
    {
 	 a[i]+=c;
	 i+=low_bit(i);
    } 
}
int q(int i)
{
   int ans=0;
   while(i>0)
   {
       ans+=a[i];
       i-=low_bit(i);
   }	
   return ans;
}
int main()
{
	add(l,c)  
	add(r+1,-c)
	//对l--r区间加 c  
	q(i) //查询i点的值 
}

四 ：区间修改，区间查询

        这可能也是比较难理解的地方了。

        但是认真仔细的看一看，还是很好理解的。

        这也是，我看别人的博客，才知道的。

        首先我们设原来的数组是a[i]，a[i]里保存的是前i个元素的值总和。

        然后设C1,C1代表的是a[i]-a[i-1]，那么就是第i个元素的值；

        我们假设sigma(r,i),表示r数组前i项的和。      

     网上有这样一个式子，其实这个式子的误导性很大。     

     a[1]+a[2]+...+a[n]

     = (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

     = n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

     = n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

     那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

     式子①=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

     下面我们看一道题，来展示一下代码。

    

给你N个数，有两种操作：

1：给区间[a,b]的所有数增加X

2：询问区间[a,b]的数的和。

输入描述 Input Description

第一行一个正整数n，接下来n行n个整数，

 

再接下来一个正整数Q，每行表示操作的个数，

 

如果第一个数是1，后接3个正整数，

 

表示在区间[a,b]内每个数增加X,如果是2，

 

表示操作2询问区间[a,b]的和是多少。

pascal选手请不要使用readln读入

输出描述 Output Description

对于每个询问输出一行一个答案

样例输入 Sample Input

3

1

2

3

2

1 2 3 2

2 2 3

样例输出 Sample Output

9

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据范围

1<=n<=200000

1<=q<=200000

        题目来源：点击打开链接

       

#include   
#define lowbit(x) (x&-x)  
#define ll long long  
#define maxn 200010  
using namespace std;  
ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];  
void add(ll *r, ll pos, ll v)  
{for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}  
ll sigma(ll *r, ll pos)  
{  
    ll ans;  
    for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];  
    return ans;  
}  
int main()  
{  
    ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;  
    scanf("%lld",&n);  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
        scanf("%lld",num+i);  
        add(c1,i,num[i]-num[i-1]);  
        add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));  
    }  
    scanf("%lld",&q);  
    while(q--)  
    {  
        scanf("%lld",&type);  
        if(type==1)  
        {  
            scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);  
            add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);  
            add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);  
        }  
        if(type==2)  
        {  
            scanf("%lld%lld",&a,&b);  
            sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);  
            sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);  
            printf("%lld\n",sum2-sum1);  
        }  
    }  
    return 0;  
}