防线题解

防线 2020/3/31

题目描述

达达学习数学竞赛的时候受尽了同仁们的鄙视，终于有一天…受尽屈辱的达达黑化成为了黑暗英雄怪兽达达。

就如同中二漫画的情节一样，怪兽达达打算毁掉这个世界。

数学竞赛界的精英 lqr 打算阻止怪兽达达的阴谋，于是她集合了一支由数学竞赛选手组成的超级行动队。

由于队员们个个都智商超群，很快，行动队便来到了怪兽达达的黑暗城堡的下方。

但是，同样强大的怪兽达达在城堡周围布置了一条“不可越过”的坚固防线。

防线由很多防具组成，这些防具分成了 N 组。

我们可以认为防线是一维的，那么每一组防具都分布在防线的某一段上，并且同一组防具是等距离排列的。

也就是说，我们可以用三个整数 S， E 和 D 来描述一组防具，即这一组防具布置在防线的 S，S + D，S + 2D，…，S + KD(K∈ Z，S + KD≤E，S + (K + 1)D>E)位置上。

黑化的怪兽达达设计的防线极其精良。如果防线的某个位置有偶数个防具，那么这个位置就是毫无破绽的(包括这个位置一个防具也没有的情况，因为 0 也是偶数)。

只有有奇数个防具的位置有破绽，但是整条防线上也最多只有一个位置有奇数个防具。

作为行动队的队长，lqr 要找到防线的破绽以策划下一步的行动。

但是，由于防具的数量太多，她实在是不能看出哪里有破绽。作为 lqr 可以信任的学弟学妹们，你们要帮助她解决这个问题。

输入格式

输入文件的第一行是一个整数 T，表示有 T 组互相独立的测试数据。

每组数据的第一行是一个整数 N。

之后 N 行，每行三个整数 Si，Ei，Di，代表第 i 组防具的三个参数,数据用空格隔开。

输出格式

对于每组测试数据，如果防线没有破绽，即所有的位置都有偶数个防具，输出一行 “There’s no weakness.”(不包含引号) 。

否则在一行内输出两个空格分隔的整数 P 和 C，表示在位置 P 有 C 个防具。当然 C 应该是一个奇数。

样例

样例输入

3
2
1 10 1
2 10 1
2
1 10 1
1 10 1
4
1 10 1
4 4 1
1 5 1
6 10 1

样例输出

1 1
There’s no weakness.
4 3

数据范围与提示

防具总数不多于108,

Si≤Ei,

1≤T≤5,

N≤200000,

0≤Si，Ei，Di≤231−1

我的见解

这道题需要通过二分寻找答案：

思路

如果防线有问题的话，所有的和加起来就会是一个奇数，否则就一定不是。
我们可以通过二分答案的位置来找到这个位置，然后判断区间[l,mid][l,mid]的总和的奇偶性。若为奇数，则奇数位存在于此区间。反之若为偶数，则一定存在于[mid+1,r][mid+1,r]区间。用这个方法逐步缩小范围即可。
关于查找[l,mid][l,mid]的总和，我们可以用前缀和的思路，用sum[n]−sum[mid−1]sum[n]−sum[mid−1]即可求出。(sum[i]sum[i]为求出ii位置之前所有位置的和)

时间复杂度

设整个数列的最小位置为minnminn
这里，我们枚举每一个等差数列（它的起点为ss，终点为ee，差为dd）。若s<=xs<=x，则两区间存在交集。
则它与[minn,x][minn,x]的共同区间为[s,min(e,x)][s,min(e,x)]。那么此区间包含此数列的个数是⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1。
正确性证明十分容易：
在此区间中存在一段区间，共⌊s,min(e,x)/d⌋∗d⌊s,min(e,x)/d⌋∗d个位置，头尾的位置上都有数字，差为dd，则数字的数量就是⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1⌊(min(e,x)−s)/d⌋+1。
时间复杂度：O(nlogn)O(nlogn)
二分的时间为O(logn)O(logn)，每次check()check()的时间为O(n)O(n)，故总的时间复杂度为O(nlogn)O(nlogn)。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 200000 + 1, INF = 1e9;
int t,n;
struct CJG{
    int s,e,d;
}a[N];

int getSum(int x);
bool check(int l,int r);

int main(){
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        scanf("%d", &n);
        int maxn = -INF, minn = INF;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d %d %d", &a[i].s, &a[i].e, &a[i].d);
            minn = min(minn,a[i].s); 
            maxn = max(maxn,a[i].e);
        }

        if(!(getSum(maxn) & 1)){
            printf("There's no weakness.\n");
        }else{
            int l = minn, r = maxn;
            while(l <= r){
                int mid = (l + r) >> 1;
                if(check(l,mid))r = mid - 1;
                else l = mid + 1;
            }

            printf("%d %d\n", l, (getSum(l) - getSum(l - 1)));
        }
    }
    return 0;
}

bool check(int l,int r){ 
    return (getSum(r) - getSum(l - 1)) & 1;
}

int getSum(int x){  
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(a[i].s <= x)
            res += (min(a[i].e, x) - a[i].s)/a[i].d + 1;

    return res;
}