克鲁斯卡尔算法&普里姆算法

克鲁斯卡尔算法  
假设  WN=(V,{E})  是一个含有  n  个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含  n  个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有  n  棵树的一个森林。之后，从网的边集  E  中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有  n-1条边为止。

普里姆算法  
假设  WN=(V,{E})  是一个含有  n  个顶点的连通网，TV  是  WN  上最小生成树中顶点的集合，TE  是最小生成树中边的集合。显然，在算法执行结束时，TV=V，而  TE  是  E  的一个子集。在算法开始执行时，TE  为空集，TV  中只有一个顶点，因此，按普里姆算法构造最小生成树的过程为：在所有“其一个顶点已经落在生成树上，而另一个顶点尚未落在生成树上”的边中取一条权值为最小的边，逐条加在生成树上，直至生成树中含有  n-1条边为止。  
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克鲁斯卡尔算法（1）

void kruskal (edgeset ge, int n, int e)
// ge为权按从小到大排序的边集数组
{        
	int set[MAXE], v1, v2, i, j;
    for (i=1;i<=n;i++)
		set[i]=0;	// 给set中每个元素赋初值
	i=1;// i表示获取的生成树中的边数，初值为1
	j=1;// j表示ge中的下标，初始值为1
    while (j

克鲁斯卡尔算法（2）

//kruskal  
void  MiniSpanTree_Kruskal(CGraph  gn)  
{  
//按算法构造网gn的最小生成树并输出生成树上各条边/  
   T.init(gn.vexes,null);    
   hp.init(gn)    //堆初始化，堆中元素        
   heap_sort(hp);    //为网gn的所有边          
   while(  (hp.Last>0)  &&  (T.Arcn1  )              
           heap_sift(hp,1,hp.Last);//求下一条最小代价边      
   }  
   if(  T.Arcn

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 普里姆算法

//prim  

#include    
#include    
 
#define  MAXVEX  30  
#define  MAXCOST  1000  
 
/*每一步扫描数组lowcost，在V-U中找出离U最近的顶点，令其为k，并打印边(k,closest[k])*/  
/*然后修改lowcost和closest，标记k已经假如U  。c表示图邻接矩阵，弱不存在边(i,j),则c[i][j]的值为一个大于任何权而小于无限打的阐述，这里用MAXCOST表示*/  
void  prim  (int  c[MAXVEX][MAXVEX],  int  n)/*一直图的顶点为{1,2,...,n},c[i][j]为(i,j)的权，打印最小生成树的每条边*/  
{  
           int  i,j,k,min,lowcost[MAXVEX],closest[MAXVEX];  
           for  (i=2;i<=n;i++)  /*从顶点1开始*/  
           {  
                       lowcost[i]=c[1][i];  
                       closest[i]=1;  
           }  
           closest[1]=0;  
           for  (i=2;i<=n;i++)  /*从U之外求离U中某一顶点最近的顶点*/  
           {  
                       min=MAXCOST;  
                       j=1;  
                       k=i;  
                       while  (j<=n)  
                       {  
                                   if  (lowcost[j]

/****************************************************************************************/

我们这里讨论的是无向图的最小生成树，有向图的最小生成树算法比较复杂，如果感兴趣可以参看清华大学的《信息学奥林匹克竞赛指导－图论的算法与程序设计》。

所谓最小生成树，就是给定一个无向图，挑选若干条边，连成一个树行图（无圈），使得所选边的权至和最小。

一下算法中，n是点数，e是边数。

1.Prime

初始时任选一点s为树根，每次选出一条权最小的边[i,j]，使得点i在树中，点j不在树中，将j和[i,j]加入树中，重复n-1次求出最小生成树。

我们用二叉堆来提高效率。二叉堆中存储边，初始时二叉堆中存储与s关联的边，每次取出一个权最小的边[i,j]，删除[i,j]，同时将与j关联的边放入二叉堆中，注意判重。

因为所有边只放入和取出二叉堆一次，所以算法复杂度是(eloge)。

2.Kruskal

从所有边中找到一个最小的边，且将改变放入后不会生成圈，重复n-1次后求出最小生成树。

我们首先将所有边排序，然后从小到大判断，如果不产生圈就加入树中，当加入n-1条边时停止。

为了判断是否组成圈，我们要用到并查集，相关知识可以在本站或任一本竞赛书中找到，这里不赘述。

算法复杂度是(eloge+eα)，α是做一次并查集的复杂度，可以认为是常数。

两种算法同样优秀。