[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树

前提介绍:最小生成树概念

  一个连通图的生成树是图的极小连通子图,它包含图中的所有定点,并且只含尽可能少的边,这意味着对于生成树来说,就砍去使生成树变成非连通图;若给它怎家一条边就会形成图中的一条回路。
  对于一个带权连通无向图G=(V,E),生成树不同,每个树的权也可能不同。设W为G的所有生成树的集合,若T为G中边的权值之和最小的那棵生成树,则T成为G的最小生成树。

Prim算法概念

  Prim算法的执行非常类似于寻找图的最短路径的Dijkstra算法。假设N={V,E}是连通网,Et是N上最小生成树中边的集合。算法从Vt={u0}(u0∈V),Et={}开始,重复执行下述操作:在所有u∈Vt,v∈V-Vt的边(u,v)∈E中找一条代价最小的边(u0,v0)并加入集合Et,同时将v0并入Vt,直到Vt=V为止。此时Et中必有n-1条边,则T={Vt,Et}为N的最小生成树。
  Prim算分的步骤如下:
  初始化:向空树T=(Vt,Et)中添加图G=(V,E)的任一定点u0,使Vt={u0},Et=空集;
  循环下述操作:从图G中选择满足{(u,v)|u∈Vt,v∈V-Vt}且具有最小权值的边(u,v),并置Vt=Vt∪{v},Et=Et∪{(u,v)}。

实例及解析

[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第1张图片
  第一步:
[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第2张图片

从图中选择一条最短的边加入集合,不难看出,1是此时最短的边。
第二步:
[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第3张图片
此时我们可以从V1,V2两个顶点出发,寻找下一个定点与这两个顶点之一相连,并且能使相连的這条边是最短的,所以我们下一个选择的是V6,此时顶点集合有:V1,V3,V6。
第三步:
[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第4张图片
从V1,V3,V6三个顶点出发,我们要寻找下一条最短的边,不难发现,此时2是最短的那一条边,连接V6,V4,所以把它加入边的集合(要注意,加入的边不能使生成树带有回路!),此时顶点集合:v1,v3,v4,v6
第四步:
[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第5张图片
从V1,V3,V6,V4四个顶点出发,寻找下一条最短的边并且不能使生成树带有回路,此时可以发现,V3到V2的5是最短的这条边。
第五步:
[数据结构]普里姆(Prim)算法生成最小生成树_第6张图片
最后一步,从V1,V2,V3,V6,V4的顶点出发,寻找吓下一条最短的边,并且不能形成回路,很明显V2到V5这条边最短,加入之后最小生成树已经形成。

伪代码实现

void Prim(G,T){
    T=空集;//初始化空树
    U={w};//添加任一顶点)
    while((V-U)!=空集){
    设(u,v)是使u∈U与v∈(V-U),且权值最小的边;
    T=T∪(u,v);  //边归入树
    U=U∪{v};  //顶点归入输
    }
}

算法的复杂度

  Prim算法的时间复杂度为O(|V|²),不依赖于|E|,因此它很适合于求解边稠密的图的最小生成树,虽然采用其他办法可以改进Prim算法的时间复杂度,但增加了实现的复杂性。

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