并查集

一.基本概念和定义

并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。

使用并查集时，首先会存在一组不相交的动态集合 S={S1,S2,⋯,Sk}S={S1,S2,⋯,Sk}，一般都会使用一个整数表示集合中的一个元素。

每个集合可能包含一个或多个元素，并选出集合中的某个元素作为代表。每个集合中具体包含了哪些元素是不关心的，具体选择哪个元素作为代表一般也是不关心的。我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。

并查集的基本操作有三个：

1. intit()：初始化一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。
2. merge(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。
3. find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

二.原理解释

相信大家每次在搜索资料查询并查集的时候总是邹巴巴的文字，甚至连图片都没有。
下面，掀起江湖的腥风血雨来趣味解释并查集的原理

 话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
     但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

下面我们来看并查集的实现。

各个门派掌门在成立各派之前，还是孤家寡人的时候，每个元素都是一个单元素集合，即父节点是其自身：

int pre[1000];
     这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。

void init(){
	//for(int i=0;i

接下来，就是 find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。
     设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。
     于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？”
     上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。”
     一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。
“哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!”
“幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！”
     两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。
     “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。
     “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。
     白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。”
     “唔，有道理。”
     白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。
     这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码所实现的功能就是这么个意思。

     find这个函数就是找掌门用的.

int find(int x){
	//return pre[x] == x ? x : find(pre[x]);
	return pre[x] < 0 ? x : find(pre[x]);
}

再来看看merge函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？
     还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。

void merge(int x, int y)//虚竹和周芷若做朋友 
{
	int fx = find(x), f[y] = find(y);//一个老大是玄慈，一个是灭绝师太
	if (fx != fy)//不是同一个人
	{
		pre[fy] += pre[fx];//归顺以后原先是两个门派的成员变为一个门派，人数自然是两个门派之和
		pre[fx] = fy;//方丈很委屈的做了灭绝的小弟 //选定一个原则，如果是靠左原则，则将所有左边的归顺右边，反之亦然。
	}
		
}

贴一个完整代码：这个程序用于统计n个人，m个两两关系的门派的个数以及每一个门派的人员数量。

代码很简单。也很容易理解

#include
#include
using namespace std;
int n, m;//n个人，m个两两团伙，团伙之间存在传递性，即A<->B,B<->C那么A.B.C均是同一门派。 

int pre[1000];//用来找掌门用的 
int ans;//门派的数量； 
void init()
{
	memset(pre, -1, sizeof(pre));
}

int find(int x)//有路径压缩版 
{
	if (pre[x]<0)return x;
	return find(pre[x]);
}

void merge(int x, int y)//虚竹和周芷若做朋友 
{
	int fx = find(x);
	int fy = find(y);//一个老大是玄慈，一个是灭绝师太

	if (fx != fy)//不是同一个人
	{
		pre[fy] += pre[fx];
		pre[fx] = fy;//方丈很委屈的做了灭绝的小弟 ,靠右原则；
	}
		 
}

int main()
{
	while (cin >> n >> m)
	{
		ans = 0;
		init();

		for (int i = 0; i> x >> y;
			merge(x, y);
		}

		for (int i = 0; i