题解 DTOJ #1865.最佳挤奶方案 (optmilk)

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【题目描述】

Farmer John最近购买了 $N(1<=N<=40000)$ 台挤奶机，编号为 $1...N$，并排成一行。第 $i$ 台挤奶机每天能够挤 $M(i)$ 单位的牛奶 $(1<=M(i)<=100,000)$ 。由于机器间距离太近，使得两台相邻的机器不能在同一天使用。Farmer John可以自由选择不同的机器集合在不同的日子进行挤奶。在 $D(1<=D<=50,000)$ 天中，每天Farmer John对某一台挤奶机进行维护，改变该挤奶机的当天产量。

Farmer John希望设计一个挤奶方案，使得挤奶机能够在 $D$ 天后获取最多的牛奶。

【 输入输出格式】

输入格式：

第 $1$ 行：两个整数 $N$ 和 $D$

第 $2..N+1$ 行：每台挤奶机的 $M(i)$

第 $N+2..N+D+1$ 行：两个整数 $i$ 和 $m$，表示每天对机器 $i$ 进行维护，机器i的产量为 $m$。

输出格式：

一个数组表示最大产量

【输入输出样例】

输入样例：

5 3
1
2
3
4
5
5 2
2 7
1 10

输出样例：

32

【提示】

【样例说明】
第 $1$ 天，最优方案为 $2+4=6$ ( 方案 $1+3+2$一样)
第 $2$ 天，最优方案为 $7+4=11$
第 $3$ 天，最优方案为 $10+3+2=15$

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【标签】

线段树，单点修改，区间DP。

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【分析】

通过线段树来进行区间DP，维护最大点集。

基本想法：

化简题目：将 $n$ 个点排成一排，每一个点都有一个点权，从中选出相互不能临近的最大点集。

改进：

由于需要维护区间信息，考虑通过线段树来进行区间DP。

每个线段树的节点内都有一个$F$数组：

1. $F[1][0]$ 表示区间左端点取，右端点不取的最大点集的和。
2. $F[0][1]$ 表示区间左端点不取，右端点取的最大点集的和。
3. $F[1][1]$ 表示区间左端点取，右端点也取的最大点集的和。
4. $F[0][0]$ 表示区间左端点、右端点都不取的最大点集的和。

因为两个相邻的点不能同时取，所以更新最大值的时候要进行分类讨论，举例当前树节点可以由：

1. 左子节点的 $F[1][0]$ $+$ 右子节点的 $F[1][0]$；
2. 左子节点的 $F[1][0]$ $+$ 右子节点的 $F[0][0]$；
3. 左子节点的 $F[1][1]$ $+$ 右子节点的 $F[0][0]$；

三种情况取最大值得来，其他情况同理，在更新时讨论即可。

在建树时叶子节点的值为$F[1][1]=S[l]$。

每组数据读入后进行线段树单点修改，$Ans$ 增加线段树根节点的所有情况中的最大值即可。

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【代码】

[C++]

#include 
#define wld(a) while(a(isdigit(c=getchar())))
#define xpp x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48)
#define LL long long
#define R k<<1|1
#define L k<<1
using namespace std;
const int MAXN = 40000+5;
struct T{LL F[2][2];int l, r;}T[MAXN*4];

int S[MAXN], n, d, p, v;
long long Ans;

inline int Rd(){char c;wld(!);int x=c^48;wld()xpp;return x;}
inline void Update(int &k){  //更新数据
	T[k].F[1][0] = max(max(T[L].F[1][0]+T[R].F[1][0], T[L].F[1][1]+T[R].F[0][0]), T[L].F[1][0]+T[R].F[0][0]);
	T[k].F[0][1] = max(max(T[L].F[0][1]+T[R].F[0][1], T[L].F[0][0]+T[R].F[1][1]), T[L].F[0][0]+T[R].F[0][1]);
	T[k].F[0][0] = max(max(T[L].F[0][1]+T[R].F[0][0], T[L].F[0][0]+T[R].F[1][0]), T[L].F[0][0]+T[R].F[0][0]);
	T[k].F[1][1] = max(max(T[L].F[1][0]+T[R].F[1][1], T[L].F[1][1]+T[R].F[0][1]), T[L].F[1][0]+T[R].F[0][1]);
}
void Build(int k, int l, int r){  //建树
	T[k].l = l, T[k].r = r;
	if(l==r){T[k].F[1][1] = S[l];return;}
	int mid = (l+r)>>1;
	Build(L, l, mid);
	Build(R, mid+1, r);
	Update(k);
}
void Revise(int k){  //单点修改
	if(T[k].l==T[k].r){T[k].F[1][1]=v;return;}
	int Tmid = (T[k].l+T[k].r)>>1;
	if(p<=Tmid) Revise(L);
	else Revise(R);
	Update(k);
}
int main(){
	n=Rd(), d=Rd();
	for(int i=1; i<=n; i++) S[i]=Rd();
	Build(1, 1, n);
	while(d--){
		p=Rd(), v=Rd();
		Revise(1);
		Ans += max(max(T[1].F[1][1], T[1].F[0][0]), max(T[1].F[1][0], T[1].F[0][1]));
	}
	printf("%lld", Ans);
	return 0;
}

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【补充】

分类讨论时要细心一点，要记得是先修改再统计。

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