最小生成树：普利姆算法（与Dijkstra算法有很强的联系）

最近在研究图论方面的知识，这方面的代码和知识如果弄熟了之后，写程序的能力可以大大提高。因为这里面不仅包含着大量算法，还有很复杂但有用的数据结构

这是我弄清楚普利姆算法的博客，推荐：https://blog.csdn.net/syyyy712/article/details/79180455#commentBox

图很清楚，代码写得也很好。关于普利姆算法，我想总结的是：
它和迪杰斯特拉求最短路径的算法思想很像，两个都是贪心算法，迪杰斯特拉算法维护了一个dis数组，用于保存起始点到其余点的最短路径估计值（遍历完成之后就是结果值）。
而普利姆算法也是维护了一个dis数组，它保存的是最小生成树到其余点的最短路径估计值！ 核心区别就在这里，其他与dijsk算法基本一样。

为什么两者之间这么像呢？我思考了一下，因为求最小生成树的过程不就是判断找最小生成树这个“大点”与其余各顶点的最短路径吗？噢噢噢，所以说，最小生成树其实本质上也是在求最短路径，每次迭代，都是找到离最小生成树最近点进行出边松弛操作

有了很深入的理解，代码就不是问题了，实现代码和dijsk也很像，都是贪心，两者思想可以说是非常相近了

/*
与dijsk算法的区别就是
dijsk算法：dis数组代表的意义是--初始点到各顶点的最小权值
prime算法：dis数组代表的意义是--最小生成树到各顶点的最小权值
核心区别，仅此而已！ 
6 10
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 6 4
5 6 6
3 5 5
4 6 2
3 4 7
*/
#include
#include
using namespace std;

int adjMatrix[100][100];
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int book[100];					//在最小生成树中的顶点标记为1
vector<int> res; 

void createGraph(int nodenum, int edgenum)
{
	//初始化邻接矩阵
	for(int i = 1;i <= nodenum;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= edgenum;j++)
		{
			if(i == j)
				adjMatrix[i][j] = 0;
			else
				adjMatrix[i][j] = inf;
		}
	} 
	//输入图 
	for(int i = 1;i <= edgenum;i++)
	{
		int p1, p2, weight;
		cout << "请输入第" << i << "条边的两个顶点以及权重：";
		cin >> p1 >> p2 >> weight;
		//无向图 
		adjMatrix[p1][p2] = weight;
		adjMatrix[p2][p1] = weight;
	}
	cout << "图的邻接矩阵：" << endl;
	for(int i = 1;i <= nodenum;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= nodenum;j++)
		{
			cout << adjMatrix[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
}

void prim(int nodenum)
{
	int dis[100];				//意思与dijsk算法一样，表示初始点到各点的权值 
	//初始化
	for(int i = 1;i <= nodenum;i++)
		dis[i] = adjMatrix[1][i];
	book[1] = 1;				//一号节点在生成树中
	
	int sum = 0;				//记录最小生成树的权值总和
	res.push_back(1);			//将1号节点放进结果向量中，这是为了便于输出最后的路径
	
	int min = inf;
	int minindex = 0;			//记录离最小生成树最近的节点 
	//prime算法的核心语句 
	for(int i = 1;i <= nodenum - 1;i++)
	{
		min = inf;		 
		//找距离最小生成树最近的节点 
		for(int i = 2;i <= nodenum;i++)
		{
			if(dis[i] < min && book[i] != 1)		//不能是最小生成树中的节点 
			{
				min = dis[i];
				minindex = i;
			}
		}
		book[minindex] = 1;				//这个最近的节点被加到最小生成树中
		sum += dis[minindex];			//sum更新 
		res.push_back(minindex);		//结果向量中也装起来
		//接下来就要利用minindex松弛其他顶点的dis值
		for(int i = 1;i <= nodenum;i++)
		{
			//如果这个点不是生成树内部点，并且通过minindex出边到达它的距离小于原距离 
			if(book[i] != 1 && dis[i] > adjMatrix[minindex][i])
			{
				dis[i] = adjMatrix[minindex][i];
			}
		}
	} 
	//输出路径：
	cout << "最小生成树路径为：";
	for(int i = 0;i < res.size();i++)
	{
		if(i != res.size() - 1)
			cout << res[i] << "->";
		else
			cout << res[i] << endl;
	} 
	//输出代价
	cout << "最小生成树的权值和为：";
	cout << sum << endl; 
}

int main()
{
	int nodenum, edgenum;
	cout << "请输入图顶点个数：";
	cin >> nodenum;
	cout << "请输入图边数：";
	cin >> edgenum;
	//创建图 
	createGraph(nodenum, edgenum);
	//普利姆算法
	prim(nodenum); 
	return 0;
}

运行结果：