【LOJ6713】「EC Final 2019」狄利克雷 k 次根 加强版（狄利克雷生成函数）

传送门

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题解：

我记得 SCOI2019 考完之后我就口胡过这个东西，当时D1T3 超矩形。。。

考虑 Dirichlet 生成函数：$F(x)={\sum }_{i\ge 1}\frac{f_i}{i^x}$。

考虑 Dirichlet 卷积：$(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})$，不难发现 Dirichlet 卷积的 Dirichlet 生成函数就是原 Dirichlet 生成函数的卷积。

所以我们现在只需要考虑生成函数的开根和求幂即可，支持一下 $\ln$ 和 $\exp$ 就行了，我们只需要明白 $\ln$ 怎么做，$\exp$ 直接就是 $\ln$ 的逆运算。

按照套路 $\ln F(x)=\int \frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}$，求逆没什么好讲的，直接搞就行了，求导会发现这个玩意 ：$$(\frac{f_i}{i^x}{)}^{\prime }=\frac{f_i}{i^x}\ln i$$

这个 $\ln i$ 有点难搞，不过我们知道外层有个求不定积分最后会把 $\ln i$ 搞掉，我们需要维护的只有比值，就是说我们需要构造函数 $c(n)$ ，使其满足 $c(1)=0,c(ij)=c(i)+c(j)$。定义 $c(i)$ 为 $i$ 的所有质因子指数之和即可。

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代码：

#include
#define ll long long
#define re register
#define cs const

namespace IO{

inline char gc(){
	static cs int Rlen=1<<22|1;static char buf[Rlen],*p1,*p2;
	return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
}template<typename T>T get_integer(){
	char c;bool f=false;while(!isdigit(c=gc()))f=c=='-';T x=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48);return f?-x:x;
}inline int gi(){return get_integer<int>();}

char obuf[(int)(1e7+7)],*oh=obuf,ch[23];
template<typename T>void print(T a,char c){
	if(a<0)*oh++='-',a=-a;int tl=0;
	do ch[++tl]=a%10;while(a/=10);
	while(tl)*oh++=ch[tl--]^48;*oh++=c; 
}struct obuf_flusher{~obuf_flusher(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}}Flusher;

}using IO::gi;
using IO::print;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod,a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b,a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);} 
inline int po(int a,int b){int r=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))if(b&1)Mul(r,a);return r;}
inline void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return;}ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}inline int Inv(int a){static int x,y;ex_gcd(mod,a,y,x);return x+(x>>31&mod);}

cs int N=1e6+7;

int p[N],pc;
bool mrk[N];
int c[N];
void sieves(int n){
	for(int re i=2;i<=n;++i){
		if(!mrk[i])p[++pc]=i,c[i]=1;
		for(int re j=1;i*p[j]<=n;++j){
			mrk[i*p[j]]=true;
			c[i*p[j]]=c[i]+1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
} 

int inv[100];

void Ln(int *f,int *t,int n){
	for(int re i=1;i<=n;++i)
		t[i]=mul(f[i],c[i]);
	for(int re i=1;i<=n;++i)if(t[i])
		for(int re j=2;i*j<=n;++j)
			Dec(t[i*j],mul(f[j],t[i]));
	for(int re i=1;i<=n;++i)
		Mul(t[i],inv[c[i]]);
}

void Exp(int *f,int *t,int n){
	for(int re i=1;i<=n;++i)
		t[i]=i==1,Mul(f[i],c[i]);
	for(int re i=1;i<=n;++i)if(t[i]){
		Mul(t[i],inv[c[i]]);
		for(int re j=2;i*j<=n;++j)
			Inc(t[i*j],mul(t[i],f[j]));
	}
}

void Root(int *f,int n,int k){
	static int g[N];
	Ln(f,g,n);k=Inv(k);
	for(int re i=1;i<=n;++i)
		Mul(g[i],k);
	Exp(g,f,n);
}

int n,k;
int f[N];

void Main(){
	n=gi(),k=gi();inv[0]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<100;++i)
		inv[i]=mul(inv[mod%i],mod-mod/i);
	for(int re i=1;i<=n;++i)f[i]=gi();
	sieves(n);Root(f,n,k);
	for(int re i=1;i<=n;++i)
		print(f[i],' ');
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("dirichlet.in","r",stdin);
#endif 
}signed main(){file();Main();return 0;}