协方差求解方法
1. 协方差定义
X、Y 是两个随机变量，X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为：
其中：
、
2. 协方差矩阵定义
矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample)，那么每一列就是一个随机变量。
协方差矩阵：
协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m，而不是 1 / (m - 1).
3. 求解协方差矩阵的步骤
举个例子，矩阵 X 按行排列：
1. 求每个维度的平均值
2. 将 X 的每一列减去平均值
其中：
3. 计算协方差矩阵
注意：
有时候在书上或者网上会看到这样的公式，协方差矩阵 Σ：
这里之所以会是 X * X’ 是因为原始数据集 X 是按列排列的，即：
另外在 opencv 文档中关于计算协方差矩阵的 calcCovarMatrix 函数的说明我觉得是有问题的，
在正常的 CV_COVAR_NORMAL 状态下它给出的 cov = scale * X * X’，而这个定义仅仅是在数据按列排列下才有的，即 CV_COVAR_COLS.
URL：http://docs.opencv.org/modules/core/doc/operations_on_arrays.html?highlight=calccovarmatrix#cv.CalcCovarMatrix
这里有一个按列排列的 PCA 教程，可以参考一下：
http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90
matlab 代码：
-
clear; clc;
-
-
% data are stored
as rows.
-
X = [
1
2
3;
-
3
1
1];
-
-
Y = X;
-
-
[rows, cols] = size(X);
-
-
%
get mean
of
each dimension(
each column).
-
meanMatrix = mean(X);
-
-
% X - mean.
-
X = X - ones(rows,
1) * meanMatrix;
-
-
%
get the cov matrix.
-
covMatrix =
1 / (rows -
1) * (X
’ * X)
-
-
% the given
’cov’ function
-
cov(Y)