对于莫比乌斯相关函数总结

φ(x) φ ( x )

• 若 n=pk n = p k 则 φ(n)=pk−pk−1=(p−1)pk−1 φ ( n ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1
• 积性函数
• 若 n=pk11∗pk22∗...∗pkmm n = p 1 k 1 ∗ p 2 k 2 ∗ . . . ∗ p m k m 则有 φ(n)=n∗(1−1p!(1−1p2)∗... φ ( n ) = n ∗ ( 1 − 1 p ! ( 1 − 1 p 2 ) ∗ . . . 也就是有 φ(n)=∏(pi−1)pki−1i(pi|n) φ ( n ) = ∏ ( p i − 1 ) p i k i − 1 ( p i | n )

int getphi(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            ans -= ans / i;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
            }
        }
    }
    if (n > 1) {
        ans -= ans / n;
    }
    return ans;
}

• 首先pp是个质数。如果 i i mod m o d p=0 p = 0 ，那么 φ(i∗p)=p∗φ(i)φ(i∗p)=p∗φ(i) φ ( i ∗ p ) = p ∗ φ ( i ) φ ( i ∗ p ) = p ∗ φ ( i ) （结论一），否则 φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1)φ(i∗p)=φ(i)∗(p−1) φ ( i ∗ p ) = φ ( i ) ∗ ( p − 1 ) φ ( i ∗ p ) = φ ( i ) ∗ ( p − 1 ) （结论二）。
• φ(i∗j)=φ(i)φ(j)∗gcd(i,j)φ(gcd(i,j)) φ ( i ∗ j ) = φ ( i ) φ ( j ) ∗ g c d ( i , j ) φ ( g c d ( i , j ) )

约数个数定理

若有 n=pk11∗pk22∗pk33... n = p 1 k 1 ∗ p 2 k 2 ∗ p 3 k 3 . . .
d(n)=(k1+1)∗(k2+1)∗(k3+1)... d ( n ) = ( k 1 + 1 ) ∗ ( k 2 + 1 ) ∗ ( k 3 + 1 ) . . .

约数相关

d(i∗j)=∑x|i∑y|j[gcd(x,y)==1] d ( i ∗ j ) = ∑ x | i ∑ y | j [ g c d ( x , y ) == 1 ]

狄利克雷卷积

性质一

∑d|nμ(d)=(n==1) ∑ d | n μ ( d ) = ( n == 1 )

性质二

∑d|nφ(d)=n ∑ d | n φ ( d ) = n

性质三

∑d|nd∗μ(nd)=φ(n) ∑ d | n d ∗ μ ( n d ) = φ ( n )