失效的欧拉方程

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理想世界的流体方程

1757年，数学家欧拉（Leonhard Euler）发现了后来被称为“欧拉方程”的流体方程，这些方程描述了流体随时间的演化，就像牛顿的力学方程描述台球在桌子上的运动一样。

欧拉方程是一种理想化的对流体运动的数学描述，它们在一定的假设范围内，模拟流体的运动。更确切地说，欧拉方程描述了流体中无穷小的粒子的瞬时运动。这个描述包括一个粒子的速度和它的涡量（即旋转的速度和方向）。总的来说，这些信息汇聚成了一个“速度场”，描绘了流体在给定时刻的运动情况。欧拉方程从一个初始速度场开始，预测它在未来每一刻会发生的变化。

两个多世纪以来，它们似乎做到了描述任何情况下的任何流体运动。然而多年来，一些数学家一直怀疑欧拉方程在某些特定的情况下会失效，因为欧拉方程并不是对真实世界流体的完全描述，它包括几个非物理性的假设。例如，它们假设当流体的内流在流过彼此时，不会产生摩擦；再比如它们还假设流体是“不可压缩的”，这意味着在欧拉方程的世界里，流体是无法被压缩到比它已经占据的空间更小的空间里的。

○ 由不可压缩的欧拉方程支配的理想流体的运动：u为流体的速度场，p为内压强的力。

显然，真正的流体内部是有摩擦的，欧拉方程的描述将流体的运动规定在了一个特定的理想化世界中。若要模拟更真实的流体运动，则需要使用纳维-斯托克斯方程（NS方程）。许多数学家和其他研究人员想要知道，在科学上仍占有非常崇高地位的欧拉方程，在无摩擦、不可压缩的理想化世界中，是否总是能够精确地描述流体的所有未来运动状态。

终于，一个新的证明找到了会让欧拉方程失效的特定条件。

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寻找欧拉方程的缺陷

今年，加利福尼亚大学圣迭戈分校（UCSD）的数学家Tarek Elgindi分别于4月和10月向arXiv提交了两篇论文，这两篇论文推翻了这组著名流体方程在几个世纪以来的假设。

Elgindi证明了，在一组特定的情况下，欧拉方程会开始输出无意义的东西。他所找到的特例令众数学家们大吃一惊，因为这一“特例”是过去数学家们一直以为总能使方程有效的条件。但这并不代表欧拉方程从此将失去它在科学界的重要地位。

从理论上说，根据欧拉方程的运作原理，当你将当前状态的值代入方程中之后，就能产生未来某一时刻的精确值；再将未来某一时刻的值代入方程，就能再次延伸预测。通常情况下，这个过程是一直有效的，它似乎能延伸到我们可预见的遥远未来。但是，一旦在这个过程中欧拉方程开始产生一个无法继续代入计算的值时，欧拉方程便失效了。

是什么样的值无法被继续代入计算？它们一定是以某种非常不合理的方式放大了流体中的某个点的速度或涡量。这种放大非常极端，会将某一点的速度或涡量在有限的时间内放大到无穷大。一旦出现无穷大，方程就会崩溃，无法再继续对未来状态进行描述。

这些致命的极值被称为“奇点”。因此当数学家在询问“欧拉方程是否总是成立”时，他们实际上是在问：欧拉方程是否会在某些情况下产生奇点？

多数数学家相信答案是肯定的，但他们从来没有找到一个具体的实例。直到Elgindi的证明出现。他的结果虽然没有表明欧拉方程会在某个确切条件下产生奇点，但这已经是迄今为止最接近这一目标的结果。

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降低复杂度

为了实现这个目标，Elgindi考虑了一个简化版的流体运动模型。在真实的三维流体中，任何粒子都有三个可以移动的轴，即x轴（左右）、y轴（上下）和z轴（前后），它们有很大的运动自由度；而且流体中的不同部分的粒子的运动不一定有任何密切联系。

在Elgindi的研究中，他简化了欧拉方程需要处理的工作。他让流体的运动关于z轴对称，这种对称在真实流体中虽然并不存在，但却能使得对速度场的计算更加容易。他还限制了流体的运动范围，流体中的粒子只可以沿z轴的方向，或朝着或远离z轴运动，不能绕着z轴旋转。这样的设定基本上把问题简化成一个二维问题。

最后，Elgindi对他输入欧拉方程中的初始数据设定了一些额外规定。从某种意义上说，这些数据比描述真实世界流体的数值更加粗糙，更有可能形成奇点。

在现实世界里，如果你从流体中的一个点移动非常小的距离到另一点，那么第二个点的速度和第一个点的速度应该非常相似，它们的涡量应该也非常相似。具有这种特性的速度场被称为是“平滑”的，也就是说，当你从一个点移动到下一个点时，速度场的值会连续平滑地变化，而不是快速变化。

但在Elgindi对流体的描述中情况却不是这样，他的数据中的涡量变化更大。虽然看起来Elgindi的简化似乎与现实的流体行为偏离太多，但与许多其他数学家为研究欧拉公式所做过的简化相比，这已经是非常温和的设定。最终，Elgindi证明了在这些简化过的情况下，欧拉方程已经开始产生非常意外的结果。

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极值出现

在Elgindi的证明中，他设定的流体是没有边界的，就像是在空间漂浮的一个点。现在，我们用水箱中的水为例来理解他的证明。想象在水箱的两端有两个厚厚的水环，它们就像漩涡一样在流体的主体内形成有组织的扰动。这种现象在自然界中确实存在。

现在，假设这两个环朝着相对的方向移动。在前进的过程中，欧拉方程正常运行，计算出流体在每个时刻的速度场。但当环越靠越近时，方程就开始出现一些异常值。方程计算出的结果显示，当两个环越靠越近时，它们就以越来越大的强度相互吸引，导致环的中央被拉长了，看起来更像一对漏斗。随着它们的中心越靠越近，它们的速度也越来越快，最终相撞。

观察相撞时的速度场，就能看到从未在欧拉方程的假设情况下所看到的东西——奇点。Elgindi证明了欧拉方程在相撞的点能计算出无穷大的涡量。

Elgindi的结果完全改变了数学家看待欧拉方程的方式。在此之前，数学家从来没有证明过，在没有边界的情况下，欧拉方程只在短时间内有效，而不是永远有效。在这场漫长的寻找欧拉方程中的“弱点”的拉锯战中，终于有一位数学家作出了突破。

参考来源：

https://www.quantamagazine.org/mathematician-makes-euler-equations-blow-up-20191218/

https://arxiv.org/abs/1904.04795

https://arxiv.org/abs/1910.14071

编辑 ∑Gemini

来源：数学加油吧

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