逻辑学学习.11 --- 谓词逻辑（三）：命题的多重量化
如果一个命题中，一个量词的辖域又套了另外一个量词，并且每个量词所带的个体变项不同。那么，这个命题称做是多重量化的。
例如： ∀x （P（x）→ ∃y Q（y））
多重量化不同于重复约束， 二者的区别是：前者所涉及的是含有不同个体变项的量词，而后者所涉及的是含有相同个体变项的量词。
例如，上例如果改成：∀x （P（x）→ ∃x Q（x））
那么，这就成了重复约束。
全称命题的一般结构：
∀x （S（x）→ （…））
存在命题的一般结构：
∃x （S（x）∧ （…））
例1） 所有的候选人都有选民选举。
分析：把量词提到外面来，解释为 ”所有的候选人（x）（存在选民y，y选举x）”
谓词和常项：
H（x） 表示 ：x是候选人
M（y） 表示 ：y是选民
X（y，x） 表示 ：y选举x
符号化成：
∀x （H（x）→ （∃y（M（y）∧ X（y，x）） ）
例2） 有的选民选举所有的候选人。
分析：把量词提到外面来，解释为 ”存在选民x（对每一个候选人y，x选举y） ”
谓词和常项：
H（x） 表示 ：x是候选人
M（y） 表示 ：y是选民
X（y，x） 表示 ：y选举x
符号化成：
∃y （M（y）∧ ∀x（H（x）→ X（y，x）））
例3） 有些人不爱有些人。
分析：把量词提到外面来，解释为 ”存在x（x是人并且 （存在y（y是人并且 x不爱y））） ”
谓词和常项：
R（x） 表示 ：x是人
R（y） 表示 ：y是人
A（x，y） 表示 ：x爱y
符号化成：
∃x （R（x）∧ ∃y（R（y）∧ ¬ A（x，y）））
如果使用论域来简化，令：UD：{人} ，上式简化成：
∃x ∃y ¬ A（x，y）
例4） 如果任何古代人懂得量子力学，那么所有现代人懂得量子力学
分析：主联结词是“如果，那么”。把量词提到外面来，
解释为 ”如果（存在x（x是古代人并且x懂量子力学l ）），那么 （所有y（如果y是现代人，那么y懂得量子力学 ）） ”
谓词和常项：
G（x） 表示 ：x是古代人
X（y） 表示 ：y是现代人
个体常项 l 表示：l 是量子力学
U（x，l） 表示 ：x懂量子力学
U（y，l） 表示 ：y懂量子力学
符号化成：
∃x（G（x）∧ U（x，l））→ ∀y（X（y）→ U（y，l））
根据移置律 （∃x Ψ \Psi Ψ（x）→ P） ↔ ∀x （ Ψ \Psi Ψ（x）→ P），等于
∀x（（G（x）∧ U（x，l））→ ∀y（X（y）→ U（y，l）））
根据移置律 （P → ∀x Ψ \Psi Ψ（x）） ↔ ∀x（P → Ψ \Psi Ψ（x）），还等于
∀x ∀y（（G（x）∧ U（x，l））→（X（y）→ U（y，l）））
根据移出律 (P∧Q→R) ↔ (P→(Q→R))，还等于
∀x ∀y（G（x）∧ U（x，l）∧ X（y）→ U（y，l））
例5） 如果任何古代人懂得量子力学，那么所有当代物理学家是他的门徒 。
分析："如果，那么“的后件出现了返回代词“他”，所有前面量词的辖域包括了“如果，那么”，前面量词的辖域是整个句子 。我们把量词提到外面来，解释为：
”任何古代人，如果他懂得量子力学，那么所有当代物理学家是他的门徒。“
所有x （如果x是古代人并且 x懂量子力学，那么（所有y，如果y是当代物理学家，那么y是x的门徒 ））
谓词和常项：
G（x） 表示 ：x是古代人
D（y） 表示 ：y是当代物理学家
个体常项 l 表示：l 是量子力学
U（x，l） 表示 ：x懂量子力学
M（y，x） 表示 ：y是x的门徒
符号化成：
∀x (（G（x）∧ U（x，l））→ ∀y（ D（y）→ M（y，x）））
根据移置律 （P → ∀x Ψ \Psi Ψ（x）） ↔ ∀x（P → Ψ \Psi Ψ（x）），等于
∀x ∀y ( G（x）∧ U（x，l） → D（y）→ M（y，x））
根据移出律 (P∧Q→R) ↔ (P→(Q→R))，等于
∀x ∀y ( G（x）∧ U（x，l）∧ D（y）→ M（y，x））
例6） 有些男人只和漂亮女人结婚 。
分析：联结词“只”是必要条件。我们把量词提到外面来，解释为：
”有些男人（所有和他结婚的人是漂亮女人） 。“
存在有x （x是男人并且 （所有y（如果y和x结婚，那么y是女人并且漂亮）））
谓词和常项：
M（x） 表示 ：x是男人
W（y） 表示 ：y是女人
B（y） 表示 ：y漂亮
Y（y，x） 表示 ：y和x结婚
符号化成：
∃x ( M（x）∧ ∀y（Y（y，x）→ W（y）∧ B（y）））
例7） 所有懂得一些东西的人同情一些人 。
分析： ”懂得一些东西的人“，解释为：”是人x并且存在一些东西z（x懂得z）"
整个句子解释为：
“所有x（如果x是懂得一些东西的人，那么存在一些y（y是人并且x同情y））
谓词和常项：
R（x） 表示 ：x是人
R（y） 表示 ：y是人
U（x，z） 表示 ：x懂得z
S（x，y） 表示 ： x同情 y
符号化成：
∀x（R（x）∧ ∃z U（x，z）→ ∃y（R（y）∧ S（x，y）））
例8） 有些人羡慕任何懂得所有东西的人 。
分析： ”任何懂得所有东西的人“，解释为：”对所有y（y是人并且对所有东西z（y懂得z））"
整个句子解释为：
“存在x（x是人并且对所有人y（如果y是人并且y懂得所有东西，那么 x羡慕y））
谓词和常项：
R（x） 表示 ：x是人
R（y） 表示 ：y是人
U（y，z） 表示 ：y懂得z
A（x，y） 表示 ： x羡慕 y
符号化成：
∃x（R（x）∧ ∀y（R（y）∧ ∀z U（y，z）→ A（x，y） ） ）
例9） 所有懂得一些东西的人同情一些不懂任何东西的人 。
分析： 相比例7），增加了一个 ”一些不懂任何东西的人“，
解释为：”存在y，y是人并且对所有z，y不懂z "
整个句子解释为：“所有x（如果x是懂得一些东西的人，那么存在一些y（y是不懂任何东西的人并且x同情y））
谓词和常项：
R（x） 表示 ：x是人
R（y） 表示 ：y是人
U（x，z） 表示 ：x懂得z
¬ U（y，z） 表示 ：y不懂z
S（x，y） 表示 ： x同情 y
符号化成：
∀x（R（x）∧ ∃z U（x，z）→ ∃y（R（y）∀z ¬ U（y，z）∧ S（x，y）））
例10） 如果一个人没有读过任何书，那么他不精通任何科学。
分析： ”如果，那么“的后件有一个反向”他“，说明量词的辖域是整个句子。是一个全称命题。
解释为：”对所有x（如果x是人那么（对所有书y（x没读过y），那么对所有科学z（x不精通z）））"
谓词和常项：
M（x） 表示 ：x是人
B（y） 表示 ：y是数
S（z） 表示 ： z 是科学
¬ R（x，y） 表示 ：x没读过y
¬ M（x，z） 表示 ：x不精通z
符号化成：
∀x（R（x）→ （∀y （B（y）→ ¬ R（x，y））→ ∀z （S（z）→ ¬ M（x，z）） ））
根据移出律，等值于
∀x（R（x）∧ ∀y （B（y）→ ¬ R（x，y））→ ∀z （S（z）→ ¬ M（x，z）））
参考资料
《自然演绎逻辑导论》 陈晓平