【NOIP2018普及组】【DP】摆渡车

果然蒟蒻只会普及组的题…… $——By\mathcal{C}halotto$

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题目描述

有 $n$ 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 $i$ 位同学在第 $t_i$ 分钟去等车。只有一辆摆渡车在工作，摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费 $m$ 分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。

凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？

注意：摆渡车回到人大附中后即刻出发。

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输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$ ，以一个空格分开，分别代表等车人数和摆渡车往返一趟的时间。

第二行包含 $n$ 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔，第 $i$ 个非负整数 $t_i$ 代表第 $i$ 个同学到达车站的时刻。

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输出格式

输出一行，一个整数，表示所有同学等车时间之和的最小值（单位：分钟）。

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样例输入1

5 1
3 4 4 3 5

样例输出1

0

样例说明

同学 $1$ 和同学 $4$ 在第 $3$ 分钟开始等车，等待 $0$ 分钟，在第 $3$ 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 $4$ 分钟回答人大附中。

同学 $2$ 和同学 $3$ 在第 $4$ 分钟开始等车，等待 $0$ 分钟，在第 $4$ 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 $5$ 分钟回到人大附中。

同学 $5$ 在第 $5$ 分钟开始等车，等待 $0$ 分钟，在第 $5$ 分钟乘坐摆渡车出发。自此所有同学都被送到人民大学。总等待时间为 $0$ 。

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样例输入2

5 5
11 13 1 5 5

样例输出2

4

样例说明

同学 $3$ 在第 $1$ 分钟开始等车，等待 $0$ 分钟，在第 $1$ 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 $6$ 分钟回答人大附中。

同学 $4$ 和同学 $5$ 在第 $5$ 分钟开始等车，等待 $1$ 分钟，在第 $6$ 分钟乘坐摆渡车出发。摆渡车在第 $11$ 分钟回到人大附中。

同学 $1$ 在第 $11$ 分钟开始等车，等待 $2$ 分钟；同学 $2$ 在第 $13$ 分钟开始等车，等待 $0$ 分钟。他/她们在第 $13$ 分钟乘坐摆渡车出发。自此所有同学都被送到人民大学。总等待时间为 $4$ 。可以证明，没有总等待时间小于 $4$ 的方案。

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数据规模与约定

对于 $10\%$ 的数据， $n\le 10,m=1,0\le t_i\le 100$ 。
对于 $30\%$ 的数据， $n\le 20,m\le 2,0\le t_i\le 100$ 。
对于 $50\%$ 的数据， $n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 10^4$ 。
另有 $20\%$ 的数据， $n\le 500,m\le 10,0\le t_i\le 4\times 10^6$ 。
对于 $100\%$ 的数据， $n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 4\times 10^6$ 。

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?解析?

显然证明法就是根据题目的意思进行直觉性判断，从而证明结论成立。

显然，这是一道 $DP$ 题。
于是设 $f[i]$ 表示第 $i$ 分钟发出一辆车所要的最小时间，设 $t$ 为最后一个人到达车站的时间。

得到状态转移方程：$$f[i]=min\{f[k]+\sum _{k<a[j]\le i}i-a[j]\}(0\le k\le i-m)$$其中 $k$ 表示上一辆末班车回来的时间。

那么最后的答案即为：$ans=min\{f[i]\}(t\le i<t+m)$
$i<t+m$ 是因为最后一个人等的时间不会超过 $m$ 分钟，不然他可以直接乘之前的一辆走，肯定不是最优解。

时间复杂度： $\Theta (t^{2}n)$

优化

1、前缀和优化

令 $cnt[i]$ 表示到 $i$ 为止到达车站的人数和
$sum[i]$ 表示到 $i$ 为止到达车站的人的时间总和
显然有：$$\sum _{k<a[j]\le i}i-a[j]=i\ast (cnt[i]-cnt[k])-(sum[i]-sum[k])$$即，总等待时间 $=$ $i\times (i\sim k$ 内总人数$)$ $-$ 等待时间在 $i\sim k$ 内所有人的等待时间之和。

附上一张图帮助理解：

于是方程变为：$$f[i]=min\{f[k]+i\ast (cnt[i]-cnt[k])-(sum[i]-sum[k])\}(k\le i-m)$$

时间复杂度：$\Theta (t^2)$

2、转移优化

显然，没有一位同学的等待时间会超过 $2m$ 分钟。

简单证明：
考虑最坏的情况，在 $k$ 时刻发了一辆车，有个同学在 $k+1$ 时到达车站，那么摆渡车将在 $k+m$ 时返回，考虑到等待其它学生的情况，摆渡车最晚会在 $k+2m-1$ 时发车，否则还不如分别在 $k+m$ 和 $k+2m$ 的时候发出。

所以， $k$ 的范围就变为： $i-2m<i\le i-m$ 。

时间复杂度： $\Theta (tm)$
完全不用虚了(́순◞౪◟순‵)

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代码展示

#include
#define ll long long
#define me(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define bi(x) memset(x,0x3f,sizeof(x))
#define ud  using namespace std
ud;
const int maxn=1e7+10; int last_time=-9876543,ans=1<<30;
int N,M,t[maxn],f[maxn],sum[maxn]={},cnt[maxn]={};
inline long long read()
{
	long long s=0,f=1; char ch; for(;ch<'0' || ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
	for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar()) s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0'; return s*f;
}
int main()
{
	N=read(),M=read();
	for(int i=1;i<=N;++i) 
	{
		t[i]=read();
		// Find the last person who reach the station
		last_time=max(last_time,t[i]);
		++cnt[t[i]];//从0到i时间为止到达车站的人数和
		sum[t[i]]+=t[i];//从0到i时间为止到达车站的人的时间总和
	}
	for(int i=1;i<last_time+M;++i)
	{
		cnt[i]+=cnt[i-1];
		sum[i]+=sum[i-1];
	}
	for(int i=0;i<last_time+M;++i)
	{
		if(i>=M&&cnt[i-M]==cnt[i])
		{
			f[i]=f[i-M]; continue;
		}
		f[i]=cnt[i]*i-sum[i];
		for(int j=max(i-(M<<1)+1,0);j<=i-M;++j)
		f[i]=min(f[i],f[j]+(cnt[i]-cnt[j])*i-(sum[i]-sum[j]));
	} 
	for(int i=last_time;i<last_time+M;++i) ans=min(ans,f[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}