数字滤波器(六)--设计FIR滤波器

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统
数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计
数字滤波器(四)–模拟滤波器转化为数字滤波器
数字滤波器(五)–设计IIR滤波器

1. 线性相位FIR滤波器

1.1 相位与特点

FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为有限长序列，滤波器的一般形式为：
$y(n)=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)x(n-k)$
其系统函数一般形式为：
$H(z)=\sum _{k=0}^{N-1}h(k)z^{-n}$
在有限z平面内，有N-1个零点，在原点z=0处有N-1阶极点
系统的频率响应为：
$H(e^{jw})=\sum _{k=0}^{N-1}h(n)e^{-jwn}=H(w)e^{j\theta (w)}$
其中$\theta (w)$是相位特性，是频率w的线性函数。相位特性对w的导数就是系统的群延时。

1.2 幅度函数的特点

研究线性相位FIR滤波器幅度函数的特点时，有两种分类方法：

1. 根据h(n)的奇、偶对称性分类
2. 根据N的长度为奇、偶分类

下表为对上述的分类方法的总结：

1.3 FIR滤波器的零点

FIR滤波器的零点是以共轭对存在的，如果存在零点$z_1$，那么肯定存在零点$z_1^{\ast }$，$\frac{1}{z_1}$，$(\frac{1}{z_1}{)}^{\ast }$。假设$z_1=r{e}^{j\theta }$, k为常数，根据r和$\theta$的取值，零点可分为以下四种情况：

2. 窗函数设计法

2.1 窗函数设计原理

理想滤波器的单位冲激响应$h_d(n)$应该是无限长的非因果序列，这在实际生活中无法实现，只能用有限长的序列$h(n)$去近似无限长的$h_d(n)$。最简单的方法就是直接截取$h_d(n)$的一部分作为$h(n)$，这可以通过$h_d(n)$与窗函数相乘的形式做到：
$h(n)=h_d(n)w(n)$

2.2 窗函数的设计思路

$H_d(e^{iw})--->h_d(n)--->h_d(n)w(n)--->h(n)--->H(e^{jw})$
以理想的低通滤波器为例：

$h_d(n)$是一个无限长的以$\alpha$为中心的偶对称非因果序列。

假设此处窗函数为矩形函数：

可得

可以看到，时域加窗之后，时域阶段，频域出现了频谱泄露的现象

加窗处理对理想频率响应的影响：

1. 加窗改变了理想频率响应的边沿特性，形成了过渡带，过渡带的宽度等于窗函数的主瓣宽度：$\Delta w=\frac{4\pi }{N}$
2. 过渡带两侧产生了肩峰和余振，这些取决于窗函数的旁瓣，旁瓣多则震荡多，旁瓣相对大则肩缝强度大，与N无关
3. 改变N，只能改变窗函数主瓣的宽度，不能改变窗函数主瓣和旁瓣的比例关系，也就是说，无法改变肩峰的相对值。增大N，其最大肩峰总是8.95%，称为吉布斯现象

肩峰的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减速度，对滤波器的性能有很大影响，因此，选择不同的窗函数，可以得到不同性能的滤波器。

2.3 窗函数的选择与常用的窗函数

窗函数的选取要尽量满足两个要求：

1. 窗函数的主瓣要尽可能窄，以获得较陡的过渡带
2. 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，是的能量尽量集中在主瓣中这样就可以尽量减少肩峰和余振，以提高阻带的衰减和通带的平稳性。

然后这两者是矛盾的，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

常用的窗函数：

2.4 窗函数法的设计步骤